Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/219

207

DES POLYNOMES.

V. On peut, au surplus, parvenir directement à ce dernier résultat, sans rien emprunter de la théorie des permutations et combinaisons. Il suffit, en effet, de former les premières puissances du binome $x+a$ pour être conduit à soupçonner que, dans toute puissance de ce binome, le coefficient d’un terme quelconque pourrait bien être le coefficient du terme précédent multiplie par l’exposant de $x$ dans ce même terme, et divisé par le rang qu’il occupe à partir du premier.

Cette observation une fois faite, il n’est plus question que de changer en certitude le soupçon auquel elle conduit. Pour cela, supposons que la loi dont il s’agit de prouver l’existence, se soutienne jusqu’au développement de $(x+a)^{m-1}\,;$ il est aisé de voir que, dans cette hypothèse, en faisant pour abréger

${\tfrac {m}{1}}\cdot {\tfrac {m-2}{2}}\ldots {\tfrac {m-n+1}{n-1}}=P,$

trois termes généraux consécutifs de ce développement seront

$P\cdot a^{n-1}x^{m-n}+P\cdot {\tfrac {m-n}{n}}a^{n}x^{m-n-1}+P\cdot {\tfrac {m-n}{n}}\cdot {\tfrac {m-n-1}{n+1}}a^{n+1}x^{m-n-2}.$

Pour passer de là au développement de $(x+a)^{m},$ il suffira d’exécuter la multiplication par $x+a$ ; or il est aisé de voir que le produit de cette multiplication renfermera les deux termes généraux consécutifs que voici

$\left.{\begin{aligned}P\cdot &{\tfrac {m-n}{n}}\\&+P\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}a^{n}x^{m-n}+P\cdot {\tfrac {m-n}{n}}&\cdot {\tfrac {m-n+1}{n+1}}\\+P&\cdot {\tfrac {m-n}{n}}\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}a^{n+1}x^{m-n-1},\\\\\end{aligned}}\right.$

lesquels deviennent, en réduisant

$P\cdot {\tfrac {m}{n}}a^{n}x^{m-n}+P\cdot {\tfrac {m}{n}}\cdot {\tfrac {m-n}{n}}a^{n+1}x^{m-n-1},$

et sont évidemment encore assujettis à la même loi. Cette loi exis-