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PROBLÈME DE MAXIMIS.
![{\displaystyle \operatorname {Lim} .\mathrm {X} 'x':\mathrm {Z} 'x'=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':1~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b24548767624b2e0bc3aea9478d358a439ecb9)
donc
![{\displaystyle \qquad \qquad \operatorname {Lim} .\mathrm {X} z:\mathrm {Z} 'x'=\mathrm {PX} \cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':\mathrm {PX} '\cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1084ea672f06500c6c898d536d321631a958fca9)
Donc, lorsque
est la plus petite, on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {PX} .\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\mathrm {PX} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772772a653979d1032737ca05a286e72cff10636)
d’où
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {PX} :\mathrm {PX} '=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa910d3859b4a1b065f08c7a09b9996789078378)
Par
soient menées à
et
des parallèles rencontrant ces droites en
et
; et, par le même point soient menées aux mêmes droites des perpendiculaires les rencontrant en
et
; on aura
![{\displaystyle \mathrm {PX} :\mathrm {PX} '::\mathrm {BX} :\mathrm {PB} '::\mathrm {BX} :\mathrm {CB} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b126272beae98813e47e52d9f8baf4c8c80e6a)
donc
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {BX} :\mathrm {CB} ::\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afa99ca8afe1c1cb7053a40d70ff51b4f4ef3a6)
Premier cas. Que l’angle
soit droit, on aura
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\operatorname {Cot} .\mathrm {X} \qquad et\qquad \mathrm {BX} =\mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a0c95a2c0f33662fccc1025fec382877b0ce5f)
donc
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} :\mathrm {CB} =\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Cot} .\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a4e3d136426d83aa9c90a4e3f1acc1767fcbd4)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {CB} }{\mathrm {BP} }}={\frac {\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {X} }{\operatorname {Tang} .\mathrm {X} }}=\operatorname {Cot} .^{3}\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {BX} ^{3}}{\mathrm {BP} ^{3}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301354cae63f261d41d268a13090d2729aaab03a)
donc
![{\displaystyle \mathrm {BX} ^{3}=\mathrm {CB} \cdot \mathrm {BP} ^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56d3ab5c62e410d8a0c5d8c3acb29925f546551)
on aura de même
![{\displaystyle \mathrm {B} '\mathrm {X} '^{3}=\mathrm {CB} '\cdot \mathrm {B} '\mathrm {P} ^{2}=\mathrm {BP} \cdot \mathrm {CB} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0ce5fd9ec374c0481b00969d0e6d4d0228789f)
Le problème sera donc résolu puisque
et
seront donnés en fonctions de quantités connues, et on voit qu’il n’aura alors qu’une solution.
Deuxième cas. Que l’angle
ne soit pas droit. On parvient à une