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ET MINIMIS.

équation du troisième degré^[1], soit qu’on prenne pour inconnue la distance du point $\mathrm {X}$ à quelque point donné sur $\mathrm {CB}$, soit qu’on prenne pour inconnues les tangentes des angles $\mathrm {X}$ ou $\mathrm {X} '$.

Je vais, par exemple, chercher la position du point $\mathrm {X}$, par sa distance à quelque point donné sur $\mathrm {CB}$, et construire l’équation correspondante.

1. On parvient à une équation fort simple en procédant comme il suit :

   Soit $\mathrm {ACB}$, (fig. 2.) l’angle donné, soit $\mathrm {P}$ le point donné et soit enfin $\mathrm {XY}$ la droite cherchée. Soit mené $\mathrm {CP} =\mathrm {K} ~;$ soient faits $\operatorname {Ang} .\mathrm {PCA} =\alpha ,\ \operatorname {Ang} .\mathrm {PCB} =\beta ,$$\operatorname {Ang} .\mathrm {CPX} =\theta ~;$ on aura $\operatorname {Ang} .\mathrm {CPY} =\varpi -\theta ~;$ donc

   $\left.{\begin{aligned}\operatorname {Ang} .\mathrm {CXP} &=\varpi -(\theta +\alpha ),\\\operatorname {Ang} .\mathrm {CYP} &=(\theta -\beta ),\\\end{aligned}}\right\}{\text{d'où}}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\mathrm {CXP} &=\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha ),\\\operatorname {Sin} .\mathrm {CYP} &=\operatorname {Sin} .(\theta -\beta ),\\\end{aligned}}\right.$

   donc

   $\mathrm {PY} =\mathrm {K} \cdot {\frac {\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}},\quad \mathrm {PX} =\mathrm {K} \cdot {\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )}}.$

   et par conséquent

   $\mathrm {XY=PY+PX=K} \left\{{\frac {\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}}+{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )}}\right\}$
   $=\mathrm {K} \operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .\theta }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}}.$

   Il faudra donc, pour avoir la valeur de $\theta$ qui convient au minimum, égaler à zéro la différentielle de

   ${\frac {\operatorname {Sin} .\theta }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}}~;$

   ce qui donnera

   $\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )\operatorname {Cos} .\theta$
   $-\left\{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Cos} .(\theta -\beta )+\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )\operatorname {Cos} .(\theta +\alpha )\right\}\operatorname {Sin} .\theta =0.$

   En divisant cette équation par $\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )\operatorname {Sin} .\theta$ elle devient

   $\operatorname {Cot} .\theta =\operatorname {Cot} .(\theta +\alpha )\operatorname {Cot} .(\theta -\beta )~;$

   équation équivalente à celle-ci

   $\operatorname {Cot} .\theta ={\frac {\operatorname {Cot} .\alpha \operatorname {Cot} .\theta -1}{\operatorname {Cot} .\alpha +\operatorname {Cot} .\theta }}+{\frac {\operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Cot} .\theta +1}{\operatorname {Cot} .\beta -\operatorname {Cot} .\theta }},$

   laquelle devient, en chassant les dénominateurs et réduisant,

   $\operatorname {Cot} .^{3}\theta +(2+\operatorname {Cot} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta )\operatorname {Cot} .\theta +(\operatorname {Cot} .\alpha -\operatorname {Cot} .\beta )=0~;$

   équation du troisième degré, sans second terme.

   (Note des éditeurs.)