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DES POLYNOMES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

le nombre des termes du polynome, et $m$ étant un nombre entier positif, la somme des coefficiens des monomes qui composent le développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m}$ est $p^{m}$, ce qu’on aperçoit d’ailleurs sur-le-champ, en supposant $a=b=c=d=\ldots =1\,;$ 2.^o que lorsque l’on connaît, abstraction faite de leurs coefficiens, les monomes qui doivent composer le développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m},$ on en peut déduire ceux qui doivent entrer dans le développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m+1},$ toujours abstraction faite de leurs coefficiens, en les multipliant d’abord tous par $a$, puis par $b$ tous ceux qui ne contiennent pas a, puis par $c$ ceux qui ne contiennent ni $a$ ni $b$, par $d$ ceux qui ne contiennent ni $a$, ni $b$, ni $c$, et ainsi de suite ; de manière qu’il ne sera plus question alors que d’affecter chacun des termes obtenus du coefficient convenable.

7. Le sujet que nous venons de traiter nous conduit à nous occuper de la recherche des formules qui expriment les puissances entières, et de degrés déterminés, d’un polynome $a+b+c+d+\ldots ,$ quel que soit le nombre de ses termes. Ces formules peuvent être écrites d’une manière fort simple, et les considérations qui précèdent, fournissent un moyen très-facile de les construire.

8. Il est d’abord à remarquer que, parmi les termes du développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m},$ ceux qui ne diffèrent que par l’ordre suivant lequel se succèdent les mêmes exposans $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$, tels, par exemple, que les termes $a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,a^{\beta }b^{\alpha }c^{\gamma }\ldots ,a^{\gamma }b^{\alpha }c^{\beta }\ldots ,\ldots$ doivent être affectés des mêmes coefficiens, ainsi qu’il résulte de la forme assignée au coefficient du terme général, dans le mémoire précédent, et comme on peut aussi le déduire, a priori de ce que $(a+b+c+d+\ldots )^{m}$ est une fonction symétrique des quantités $a,b,c,d,\ldots$,

Cela posé, désignons par $(\alpha \beta \gamma \delta \ldots )$ la somme des produits des facteurs $a,b,c,d$, et de leurs puissances, dans lesquels les exposans sont $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ quelles que soient d’ailleurs les lettres que ces exposans affectent. Dans le développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m},$ il y aura, outre la classe de produits comprise dans l’expression $(\alpha \beta \gamma \ldots ),$