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PROBLÈME DE MAXIMIS.

On a, comme il vient d’être prouvé ci-dessus,

$\mathrm {BX:CB=\operatorname {Cot} .X':\operatorname {Cot} .X~;}$

or,$\qquad \qquad \qquad \mathrm {\operatorname {Cot} .X={\frac {DX}{PD}},\qquad \operatorname {Cot} .X'={\frac {D'X'}{PD'}}~;}$

donc

$\mathrm {BX:CB={\frac {D'X'}{PD'}}:{\frac {DX}{PD}}={\frac {D'X'}{CB}}:{\frac {DX}{PrBD}},}$^[1]

et conséquemment

$\mathrm {BX:PB=D'X':DX=B'X'-B'D':DX,}$ $\mathrm {\qquad \qquad =B'X'\times BX-B'D'\times BX:DX\times BX,}$ $\mathrm {\qquad \qquad =B'D'\times BE-B'D'\times BX:BX\times DX}$^[2] $\mathrm {\qquad \qquad =B'D'\times EX:BX\times DX~;}$ donc

$\mathrm {BX:PB=B'D'\times EX:BX\times DX,}$

ou$\qquad \qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:PB\times B'D'=EX:DX=EX\times DX:DX^{2},}$

ou enfin$\qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:CB\times BD=EX\times DX:DX^{2}}$^[3].

Sur $\mathrm {ED,}$ comme diamètre, soit décrit un cercle, et du point $\mathrm {X}$ soit

1. À cause des triangles semblables $\mathrm {PDB}$ et $\mathrm {PD'B'.}$.
2. Par les triangles semblables, on a les deux proportions
   $\left.{\begin{aligned}\mathrm {B'X':B'P} &=\mathrm {BP:BX} ,\\\mathrm {B'P:B'D'} &=\mathrm {BE:BP} ~;\\\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}{\text{d’où }}\mathrm {B'X':B'D'} &=\mathrm {BE:BX} \\{\text{ ou }}\mathrm {B'X'\times BX} &=\mathrm {B'D'\times BE} .\\\end{aligned}}$
3. À cause de $\mathrm {BD:B'D'=PB:PB'}$ ou $\mathrm {CB}$, qui donne
   $\mathrm {PB\times B'D'=PB\times BD.}$
   (Note des éditeurs.)