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CONSTRUCTION

alors $g=h\,;$ ce qui démontre que l’angle obtus formé par les diamètres conjugués égaux est le plus grand de tous ceux que puissent former deux diamètres conjugués.

En éliminant $g$ et $h$ à entre les équations (3) on obtient

$a\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '+b\left\{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '+\operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Cos} .\alpha \right\}+c\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '=0,$

ou

$a\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\alpha '+b(\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\alpha ')=0,\quad$(6)

cette équation sert à fixer la position des nouveaux axes.

On conclut de tout ce qui précède qu’il y a une infinité de systèmes de coordonnées pour lesquels l’équation des courbes du second ordre qui ont un centre, conserve la forme

$gy'^{2}+hx'^{2}=P.$^[1]

Cherchons maintenant si, parmi ces systèmes, il en peut exister de rectangulaires. Supposons l’angle $\theta$ droit et prenons l’axe des $x'$, dans l’angle des $x$ et $y$ positifs ; il viendra

$\operatorname {Cos} .\alpha '=-\operatorname {Sin} .\alpha ,\quad \operatorname {Sin} .\alpha '=\operatorname {Cos} .\alpha \,;$

d’après quoi les équations (3) se transformeront en celles-ci

${\begin{aligned}a&=g\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +h\operatorname {Sin} .^{2}\alpha ,\\c&=g\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +h\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ,\\b&=(h-g)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha ,\\\end{aligned}}$

prenant la différence des deux premières, il viendra

$a+c=(g-h)(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha )\,;$

or,

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha =\operatorname {Cos} .2\alpha {\text{ et }}2\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {Sin} .2\alpha \,;$

1. Non seulement il y a une infinité de systèmes de coordonnées pour lesquels l’équation conserve cette forme, mais il n’est aucune droite menée par le centre de la courbe, qui ne puisse être prise pour l’un des axes d’un de ces systèmes ; et c’est là un point sur lequel il conviendrait d’appuyer un peu plus dans les élémens.
   (Note des éditeurs.)