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DES COURBES DU SECOND ORDRE.

donc

$\operatorname {Cos} .2\alpha ={\frac {a-c}{g-h}},\quad \operatorname {Sin} .2\alpha ={\frac {2b}{h-g}},\quad {\text{d’où}}\quad \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2b}{a-c}}\,;$

cette dernière formule fait connaître la direction des axes principaux.

Mais il est nécessaire de distinguer, par quelques caractères, la valeur de $g$ de celle de $h$. Pour cela nous observerons que $\alpha$ étant, par hypothèse, moindre que le quadrans, $2\alpha$ est plus petit que deux angles droits ; d’où il suit que $\operatorname {Sin} .2\alpha$ est positif ; la différence $h-g$ aura donc le signe qui affectera $b\,;$ c’est-à-dire, que, si $b$ est positif, on prendra pour $h$ la plus grande racine, et que, si $b$ est négatif, on choisira, au contraire, pour $h$ la plus petite de ces racines. Ainsi, par ce qui précède, les courbes du second ordre qui ont un centre, se trouvent entièrement connues de grandeur et de situation par rapport aux axes primitifs.

Les racines de l’équation

$z^{2}-(a+c)z+(ac-b^{2})=0$

sont essentiellement réelles.

1.^o Si ces racines sont de même signe, la courbe est une ellipse.

2.^o Si elles sont de signes contraires, la courbe est une hyperbole.

3.^o Si, en particulier, elles sont numériquement égales, la courbe sera un cercle ou une hyperbole équilatérale.

On déduit très-simplement des équations (4 et 6) les relations qui ont lieu entre les grandeurs des axes principaux et les grandeurs et directions des diamètres conjugués. Considérons, en effet, l’équation

$gy'^{2}+hx'^{2}=P$

dans deux systèmes différens de coordonnées ; nous aurons deux équations correspondantes des mêmes courbes auxquelles nous donnerons les formes suivantes :

$\pm {\frac {y^{2}}{B^{2}}}+{\frac {x^{2}}{A^{2}}}=1,\quad \pm {\frac {y'^{2}}{B'^{2}}}+{\frac {x'^{2}}{A'^{2}}}=1.$

La première, dans laquelle $x,y$ désignent des coordonnées rec-