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INDÉTERMINÉE.

§. 1.

Solution de l’équation $a_{1}x+ax_{1}=b.$

Opérons sur $a$ et $a_{1}$, comme si nous cherchions leur plus grand commun diviseur ; nommons $a_{2},a_{3},\ldots a_{n-1},a_{n}$ les restes successifs dont le dernier sera nécessairement égal à l’unité, et $q_{1},q_{2},q_{3},\ldots q_{n-1},q_{n}$ les quotiens, nous aurons cette suite d’équation,

$\left.{\begin{aligned}a\ \ \quad &=a_{1}\ \ \ q_{1}\quad +a_{2},\\a_{1}\quad &=a_{2}\ \ \ q_{2}\quad +a_{3},\\a_{2}\quad &=a_{3}\ \ \ q_{3}\quad +a_{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\a_{n-2}&=a_{n-1}q_{n-1}+a_{n},\\a_{n-1}&=q_{n}.\end{aligned}}\right\}\mathrm {(A)}$

Mettant pour $a$ sa valeur dans la proposée, divisant par $a_{1}$ et transposant, on aura

$x={\frac {b-a_{2}x_{1}}{a_{1}}}-q_{1}x_{1}\,;$

mais $x,x_{1}$ devant être des nombres entiers, et $q_{1}$ étant lui-même un nombre entier, en désignant par $x_{2}$ un nombre entier indéterminé, on devra avoir

$x_{2}={\frac {b-a_{2}x_{1}}{a_{1}}},{\text{ d’où }}a_{2}x_{1}+a_{1}x_{2}=b\,;$

ainsi l’on a

d’une part $x=x_{2}-q_{1}x_{1},$

et de l’autre $a_{2}x_{1}+a_{1}x_{2}=b.$

Opérant sur cette dernière équation, comme sur la proposée, en continuant les mêmes raisonnemens et les hypothèses analogues, nous formerons ces deux séries d’équations