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SPHÉRIQUE.

triangles diffèrent entre eux en ce que ces deux angles sont l’un le supplément de l’autre.

C’est cette différence qui fait regarder ce dernier cas comme n’ayant qu’une solution, en tant qu’on regarde l’angle $\mathrm {A}$ comme étant déterminément aigu ou comme étant déterminément obtus.

Lorsque deux droites (non perpendiculaires l’une à l’autre) se rencontrent, chacun des angles, l’un aigu et l’autre obtus, qu’elles ont entre elles, peut être pris pour leur inclinaison, jusqu’à ce qu’il y ait quelque raison qui lève le doute qu’on doit avoir à cet égard. Or, la grandeur du côté $\mathrm {BC}$, relativement au côté $\mathrm {AB}$, lève ce doute ; de manière que, lorsque le côté $\mathrm {BC}$ est plus petit que le côté $\mathrm {BA}$, il détermine l’angle $\mathrm {A}$ à être aigu, dans chacun des triangles qu’on obtient ; et lorsque, au contraire, $\mathrm {BC}$ est plus grand que $\mathrm {BA}$, il détermine l’angle $\mathrm {A}$ à être aigu dans l’un des ces triangles, et obtus dans l’autre. Donc chacun de ces triangles doit être regardé comme remplissant les conditions de la question, tantôt pour l’angle aigu $\mathrm {A}$ dans l’un et dans l’autre (fig. 1), et tantôt pour l’angle aigu $\mathrm {A}$ dans l’un et l’angle obtus $\mathrm {A}$ dans l’autre (fig. 2)^[1].

L’algèbre vient à l’appui de ces considérations géométriques.

En effet, en regardant $\mathrm {BC}$ et $\mathrm {BD}$ comme connus, on a $\mathrm {DC^{2}=BC^{2}-BD^{2}}$, et partant $\mathrm {DC=\pm {\sqrt {BC^{2}-BD^{2}}}\,;}$ partant la ligne $\mathrm {DC}$ a toujours deux valeurs, les mêmes quant à la grandeur, et différentes par le signe, soit que $\mathrm {DC}$ soit plus petite ou plus grande que $\mathrm {AD}$, et partant, soit que l’angle $\mathrm {A}$ soit aigu ou obtus. L’algèbre et la géométrie sont donc d’accord pour faire regarder chacune des deux solutions qu’on obtient comme devant être admise. Le problème pro-

1. On peut concilier l’opinion de M. Lhuilier avec celle qu’il combat, en disant qu’à la vérité le problème a toujours deux solutions, mais qu’il arrive ici ce qu’on rencontre dans la plupart des problèmes du second degré ou, par des circonstances particulières à la question qu’on traite, une des deux solutions doit être rejetée ; il paraît même que ce n’est que dans ce sens que les géomètres disent que le problème dont il s’agit ici, peut souvent n’admettre qu’une solution unique.
   (Note des éditeurs.)