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TRIGONOMÉTRIE

posé lorsqu’il est possible et hors de la limite, a donc toujours deux solutions.

Qu’on cherche immédiatement le côté $\mathrm {AC}$, sans considérer le segment $\mathrm {AD} ,$ on l’obtiendra par l’équation

$\mathrm {BC^{2}=AC^{2}-2AB\times AC\operatorname {Cos} .A+AB^{2}}$,

laquelle donne

$\mathrm {AC=AB} \operatorname {Cos} .\mathrm {A} \pm {\sqrt {\mathrm {BC^{2}-AB^{2}} \operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {A} }}.$

Partant, lorsqu’on a $\mathrm {BC>AB} \operatorname {Sin} .\mathrm {A}$, $\mathrm {AC}$ a deux valeurs.

En regardant $\mathrm {A}$ comme aigu, l’une de ces valeurs est toujours positive ; l’autre est aussi positive, si l’on a

$\mathrm {AB} \operatorname {Cos} .\mathrm {A} >{\sqrt {\mathrm {BC^{2}-AB^{2}} \operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {A} }}.$ ou $\mathrm {AB>BC} \,;$

cette valeur est zéro, si $\mathrm {AB=BC}$ ; et elle est négative, si l’on a $\mathrm {AB} <BC$.

Ainsi encore, l’algèbre fait regarder l’une et l’autre des déterminations du point $\mathrm {C}$, dépendantes de la grandeur de $\mathrm {AC}$, comme réelles, et comme pouvant différer entre elles par la direction de la droite $\mathrm {AC}$.

Avant de passer à mon but principal, relatif à la trigonométrie sphérique, je crois devoir faire précéder la proposition suivante.

LEMME. Soit un point donné de position, sur la surface d’un hémisphère, hors de sa base et différent de son pôle. Par ce point, soient menés des arcs de grands cercles à la circonférence de la base de l’hémisphère. Le plus grand de ces arcs est celui qui passe par le pôle ; le plus petit est le supplément de celui-là. Les autres sont d’autant plus grands ou plus petits qu’ils font des angles plus grands avec le plus petit ou le plus grand de ces arcs ; de manière qu’ils passent par toutes les grandeurs intermédiaires entre leur plus petite et leur plus grande valeur.

Soit $\mathrm {P}$ (fig. 3) le pôle d’un hémisphère ; soit $\mathrm {B}$ un point hors de sa base et différent du pôle ; par $\mathrm {B}$ soit mené à un point $\mathrm {C}$ de la circonférence de la base de l’hémisphère l’arc de grand cercle $\mathrm {BC}$ ; soit aussi mené par $\mathrm {B}$ le demi-grand cercle $\mathrm {DBD'}$ dont la partie $\mathrm {BD'}$ soit celle qui passe par le pôle $\mathrm {P}$, en sorte que ce ne soit que le prolongement