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TRIGONOMÉTRIE

II. Que l’angle $\mathrm {A}$ soit droit, et que le côté $\mathrm {AB}$ soit différent d’un quadrans ; que $\mathrm {AB}$ prolongé rencontre en $\mathrm {A'}$ la circonférence de la base $\mathrm {AC}$.

Le côté $\mathrm {BC}$ est déterminé à être plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {grand} \\&\mathrm {petit} \\\end{aligned}}\right\}$ que le plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {petit} \\&\mathrm {grand} \\\end{aligned}}\right\}$ des arcs $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BA'}$.

Cette condition de la possibilité étant remplie, il y a deux points $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C'}$ situés de part et d’autre du point $\mathrm {A}$ et à une même distance de lui^[1], auxquels répondent des arcs égaux $\mathrm {BC,BC'}$ ; et on obtient deux triangles $\mathrm {BAC,BAC'}$ qui ne diffèrent l’un de l’autre que par leur position relativement à $\mathrm {AB}$.

III. Que l’angle $\mathrm {A}$ soit différent d’un droit, et que l’arc $\mathrm {AB}$ soit un quadrans. Par $\mathrm {B}$ soit mené l’arc de grand cercle perpendiculaire à $\mathrm {AC}$ rencontrant en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D'}$ la circonférence dont $\mathrm {AC}$ fait partie.

L’arc $\mathrm {BC}$ est déterminé à être plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {grand} \\&\mathrm {petit} \\\end{aligned}}\right\}$ que le plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {petit} \\&\mathrm {grand} \\\end{aligned}}\right\}$ des arcs $\mathrm {BD}$ et $\mathrm {BD'}$, dont l’un est plus petit et l’autre plus grand qu’un quadrans.

Que ces conditions de la possibilité soient remplies.

1.^o Que l’arc $\mathrm {BC}$ soit plus petit qu’un quadrans, les deux points $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C'}$ auxquels répondent les arcs égaux $\mathrm {BC}$ et $\mathrm {BC'}$, également éloignés du point $\mathrm {D}$, de part et d’autre de ce point, sont situés dans celui des fuseaux $\mathrm {ABA'D}$ auquel répond l’angle aigu en $\mathrm {A}$ ; partant, dans chacun des deux triangles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {ABC'}$, l’angle $\mathrm {A}$ est aigu, et les triangles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {ABC'}$ ont entre eux les relations suivantes : les deux angles $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C'}$ sont, l’un aigu et l’autre obtus, supplémens l’un de l’autre ; les côtés $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {AC'}$ sont, l’un la somme et l’autre la différence de $\mathrm {AD}$ et $\mathrm {DC}$ ou $\mathrm {DC'}$ ; et les angles $\mathrm {ABC}$

1. On n’a point cru nécessaire de faire une figure pour ce cas particulier qui est de lui-même évident.
   (Note des éditeurs.)