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QUESTIONS

$\mathrm {PA}$ et $\mathrm {ZY} .$ L’angle $\mathrm {PXZ}$ étant supposé droit, les angles $\mathrm {PXA,ZXY}$ , valent ensemble un angle droit, et partant les triangles $\mathrm {PXA,XZY}$ sont equiangles ; donc

\mathrm {PA:AX=XY:ZY\qquad {\text{ou}}\qquad AP\times ZY=AX\times XY.}

Mais les droites $\mathrm {PA}$ et $\mathrm {ZY}$ sont données de grandeur ; donc le rectangle $\mathrm {AX\times XY}$ est aussi donné de grandeur.

Or, $\mathrm {\qquad \qquad PX^{2}=AP^{2}+AX^{2},}$

et $\qquad \qquad \qquad \mathrm {XZ^{2}=ZY^{2}+XY^{2},}$

donc $\qquad \mathrm {XZ^{2}-PX^{2}=(ZY^{2}-AP^{2})+(XY^{2}-AX^{2}).}$

Donc, on connaît le rectangle des droites $\mathrm {XY}$ et $\mathrm {AX}$ , et la différence de leurs carrés ; donc (Lemme 1) ces droites sont l’une et l’autre connues.

§. 3.

PROBLÈME. Couper un prisme triangulaire donné par un plan, de manière que la section soit donnée d’espèce ?

Soit $\mathrm {B}$ (fig.5) un point donné, sur l’une $\mathrm {BB'}$ des arêtes d’un prisme triangulaire, dont les deux autres arêtes sont $\mathrm {AA',CC'}$ . On demande de couper ce prisme par un plan passant par $\mathrm {D}$ , de manière que la section soit donnée d’espèce ?

Soit $\mathrm {BXY}$ la section cherchée.

Analise. Du point $\mathrm {B}$ soit abaissée sur le plan de la face opposée la perpendiculaire $\mathrm {BP}$ . Du point $\mathrm {P}$ soit abaissée sur la commune section $\mathrm {XY}$ de cette face et du plan cherché la perpendiculaire $\mathrm {PZ}$ ; et soit menée $\mathrm {BZ}$ . La droite $\mathrm {BZ}$ sera la hauteur de la section, en prenant $\mathrm {XY}$ pour base et $\mathrm {B}$ pour sommet.

Le triangle $\mathrm {BXY}$ étant donné d’espèce, le rapport de $\mathrm {XZ}$ à $\mathrm {ZY}$ est connu, et partant le point $\mathrm {Z}$ appartient à une droite donnée de position, parallèle à $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {CC'}$ , et sur le plan de ces droites ; soit cette droite $\mathrm {DD'}$ .

Le rapport de $\mathrm {XZ}$ à $\mathrm {BZ}$ est aussi donné ; et partant si, sur la droite $\mathrm {XZ}$ , on conçoit portée une droite $\mathrm {ZV}$ égale à $\mathrm {BZ}$ , le point