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QUESTIONS

M. Pilatte traite la question par la géométrie analitique, en prenant le plan de projection pour le plan des $xy$ et le point $\mathrm {C}$ pour origine des coordonnées rectangulaires ; il ne se permet, au surplus, d’autres simplifications que de prendre pour plan des $xz$ le plan même du triangle $\mathrm {AA''C.}$ Prenant alors pour inconnue la coordonnée $\mathrm {CA''}$ du point $\mathrm {A}$, ce qui rentre dans le système de M. Penjon, il parvient, comme lui, à une équation du quatrième degré se résolvant comme une du second, et à l’aide de laquelle il construit les projections du triangle $\mathrm {ACB}$ sur les plans des $xz$ et des $xy.$ Nous ferions connaître ses constructions, beaucoup plus simples que la forme de l’équation ne semble le promettre, si nous n’avions à indiquer bientôt une méthode très-élégante pour résoudre le problème, par des considérations purement géométriques.

MM. Rochat et Legrand ont réduit la question à chercher la direction des arêtes latérales d’un prisme droit triangulaire ayant pour base supérieure le triangle à projeter, et pour base inférieure la projection de ce triangle. Soient donc (fig. 10) $\mathrm {ACB}$ la base supérieure de ce prisme, $\mathrm {A'C'B'}$ sa base inférieure, et soit fait passer par $\mathrm {C}$ un plan $a\mathrm {C} b$ parallèle à cette dernière. Soient $\operatorname {Ang} .\mathrm {ACC'} =x,\operatorname {Ang} .\mathrm {BCC'} =y,\operatorname {Ang} .\mathrm {ACB} =\gamma ,\operatorname {Ang} .\mathrm {A'C'B'} =\gamma ',$ $\mathrm {{\frac {CA}{CB}}=m,{\frac {C'A'}{C'B'}}=m'}$ ; l’angle trièdre dont les arêtes sont $\mathrm {CA,CB,CC'}$ donnera

$\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .\gamma '=\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y\,;$

les deux triangles rectangles $\mathrm {C} a\mathrm {A,C} b\mathrm {B}$ donneront ensuite $\mathrm {C} a$ ou

$\mathrm {C'A'} =\mathrm {CA} \operatorname {Sin} .x$ et $\mathrm {C} b$ ou $\mathrm {C'B'=CB} \operatorname {Sin} .y$ ; d’où l’on conclut, par division, $m'=m{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .y}}$, c’est-à-dire ;

$m\operatorname {Sin} .x=m'\operatorname {Sin} .y\,;$

au moyen de cette équation et de la précédente, on trouve facilement, soit pour $\operatorname {Sin} .x,$ soit pour $\operatorname {Sin} .y,$ une équation du $4.^{me}$ degré se résolvant comme une du second.