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DIFFÉRENTIATION

on en pourra conclure ces deux-ci

Démonstration. Si l’équation n’était point identique, ce serait une équation différentielle en vertu de laquelle se trouverait, contrairement à l’hypothèse, une certaine fonction de  ; on a donc nécessairement et  ; donc, etc.

LEMME II. et étant deux fonctions composées de la même manière, la première en et la seconde en variables indépendantes : si l’on a on en pourra conclure constante.

Démonstration. D’après l’hypothèse, la fonction doit devenir la fonction si l’on y met au lieu de  ; mais, à cause de , la fonction ne doit pas changer de valeur, par l’effet de cette substitution ; donc, puisque indépendant de , peut représenter des valeurs quelconques de , la fonction est tellement constituée, qu’elle conserve la même valeur, quelle que soit d’ailleurs la variation de  ; propriété qui caractérise les constantes ; donc, etc.

Cela posé, soit 1.o à différentier  ?

Soient et deux variables absolument indépendantes ; on aura

(1)

Désignons la différentielle inconnue de par  ; nous aurons, en différentiant l’équation, (1)

d’où nous tirerons, par le Lemme 1,

ce qui donne, par l’élimination de \varphi(xy) et la suppression des facteurs communs,

ou