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DES FONCTIONS.

1.^o Dans l’équation $\operatorname {d} .x^{m}=Cx^{m-1}\operatorname {d} x,$ la constante $C$ ne peut être qu’une fonction de $m$ ; en la désignant par $f(m),$ elle se changera en $f(n),$ pour la différentielle de $x^{n},$ et en $f(m+n)$ pour celle de $x^{m+n}$ ; or on a

$x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n},$

d’où on conclura, par la différentiation,

$f(m+n)x^{m+n-1}\operatorname {d} x=f(m)x^{m+n-1}\operatorname {d} x+f(n)x^{m+n-1}\operatorname {d} x\,;$

c’est-à-dire,

$f(m+n)=f(m)+f(n).$ (5)

Soit $\operatorname {d} .f(m)=\psi (m)\,;$ en différentiant l’équation (5), il viendra

$\psi (m+n)(\operatorname {d} m+\operatorname {d} n)=\psi (m)\operatorname {d} m+\psi (n)\operatorname {d} n\,;$

donc (Lemme I)

$\psi (m+n)=\psi (m)=\psi (n)$ :

donc (Lemme II) $\psi (m)=a,$ $a$ étant une nouvelle constante ; on a donc $\operatorname {d} .f(m)=a\operatorname {d} m,$ d’où $f(m)=am\,;$ nous n’ajoutons pas de nouvelle constante parce que $f(m)$ doit être nulle en même temps que $m.$

On a donc

$\operatorname {d} .x^{m}=amx^{m-1}\operatorname {d} x\,;$

et, si l’on fait $m=1,$ on en conclura $\operatorname {d} x=a\operatorname {d} x\,;$ donc $a=1$ ; donc $C=m$ ; donc enfin

$\operatorname {d} .x^{m}=max^{m-1}\operatorname {d} x.$

2.^o Dans la différentielle $\operatorname {d} .a^{x}=Ca^{x}\operatorname {d} x,$ la constante $C$ ne peut être qu’une fonction de $a$ qu’on appelle la base, et doit changer avec cette base. Appelons $e$ la valeur de $a$ pour laquelle $C$ devient l’unité, nous aurons

$\operatorname {d} .e^{x}=a^{x}\operatorname {d} x.$

Faisons ensuite $a^{x}=e^{y}\,;$ nous en conclurons, par la différentiation

$Ca^{x}\operatorname {d} x=e^{y}\operatorname {d} y,{\text{ d’où }}C={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$

or, si nous désignons par la caractéristique $l$ les logarithmes qui