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DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS.

répondent à la base $e$ et qu’on appelle Logarithmes naturels, et par L ceux qui répondent à la base $a,$ l’équation $a^{x}=e^{y}$ donnera $x\operatorname {l} a=y$ et $x=yLe\,;$ donc

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} x\operatorname {l} a,\quad \operatorname {d} x=\operatorname {d} yLe\,;$

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\operatorname {l} a={\frac {1}{Le}},{\text{ d’où }}C=\operatorname {l} a={\frac {1}{Le}}.$

3.^o La constante $C,$ dans l’équation $\operatorname {d} .Lx={\frac {C\operatorname {d} x}{x}},$ se détermine bien facilement par ce qui précède. En posant $Lx=y,$ il vient ${\frac {C\operatorname {d} x}{x}}=\operatorname {d} y,$ d’où $C={\frac {x\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$ or de $Lx=y$ résulte $x=a^{y}$ et conséquemment $\operatorname {d} x\operatorname {l} a.a^{y}\operatorname {d} y=\operatorname {l} a.x\operatorname {d} y,$ ou bien $\operatorname {d} x={\frac {a^{y}\operatorname {d} y}{Le}}={\frac {x\operatorname {d} y}{Le}}$ donc $C={\frac {1}{la}}$$=Le,$ et par conséquent

$\operatorname {d} .Lx={\frac {\operatorname {d} x}{xla}}={\frac {\operatorname {d} xLe}{x}}.$

4.^o Si, dans l’équation $\operatorname {d.Sin} .x=C\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x,$ on suppose que l’arc $x$ décroisse continuellement, jusqu’à devenir nul, on aura $\operatorname {Sin} .x=x$ et $\operatorname {Cos} .x=1,$ d’où $\operatorname {d.Sin} .x=C\operatorname {d} x$ ou $\operatorname {Sin} .x=Cx,$ ce qui donne $C={\frac {\operatorname {Sin} .x}{x}}\,;$ mais, on démontre rigoureusement^[1] qu’à la limite ${\frac {\operatorname {Sin} .x}{x}}=1\,;$ donc $C=1,$ et conséquemment

$\operatorname {d.Sin} .x=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x,\quad \operatorname {d.Cos} .x=-\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x.$

D’après cette détermination des constantes, les différentielles des fonctions $x^{m},a^{x},\operatorname {Log} .x,\operatorname {Sin} .x,\operatorname {Cos} .x$ se trouvent ramenées à la forme connue. Et, comme ces fonctions sont les elemens de toutes les autres fonctions connues, on parviendra sans difficulté, par ce qui précède, aux différentielles de ces dernières.

1. Voyez le Calcul des fonctions, leçon v^e.