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DISCUSSION DES LIGNES

$\left.{\begin{aligned}a&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''^{2}+2a\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\-2c\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+b&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''y''+a&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\+b\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''^{2}+d'&\operatorname {Cos} .\alpha \\-e'&\operatorname {Sin} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''+d'&\operatorname {Sin} .\alpha \\+e'&\operatorname {Cos} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&x''+f'=0\,;\\&\\&\\&\\\end{aligned}}$

équation dans laquelle on a

${\begin{aligned}d'=&2an+bm+d,\\e'=&2cm+bn+c,\\\end{aligned}}\quad f'=an^{2}+bmn+cn^{2}+dn+em+f.$

Posons présentement

${\begin{aligned}&b(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha )+2(\alpha -c)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha =0,\\&a\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .^{2}\alpha =M,\\&a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Cos} .^{2}\alpha =N\,;\\\end{aligned}}$

nous trouverons (Voyez Biot ou Garnier)

$\operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {b}{a-c}},{\begin{aligned}M=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)+{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\N=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)-{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\\end{aligned}}$

et la transformée sera

$My''^{2}+Nx''^{2}+(d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha )y''+(d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha )x''+f'=0.$(2)

Soit, en premier lieu $b^{2}-4ac$ positif ou négatif, différent de zéro ; en posant

$d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha =0,\quad d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =0,$

il viendra (Voyez les Auteurs cités)

$a={\frac {2ae-bd}{b^{2}-4ac}},\quad b={\frac {2cd-be}{b^{2}-4ac}}\,;$

et la transformée sera simplement

$My''^{2}+Nx''^{2}+f'=0.$

Si nous désignons respectivement par $A$ et $B,$ dans cette équation, les valeurs de $x''$ et $y''$ qui répondent à $y''=0$ et $x''=0,$ nous aurons