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DISCUSSION DES LIGNES

d’où

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {(a-c)\pm {\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}}{b}}={\frac {(a-c)\pm (a+c)}{b}},$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {2a}{b}},\quad \operatorname {Tang} .\alpha =-{\frac {2c}{b}},$

d’un autre côté l’équation $d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha =0$ donne

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {d'}{e'}}={\frac {2an+bm+d}{2cm+bn+e}}\,;$

valeurs qui ne saurait s’accorder avec $\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {2a}{b}},$ parce qu’elles conduiraient à la condition $bd-2ac=0$ qui, jointe à $b^{2}-4ac=0,$ exprime, comme l’on sait, que la courbe dégénère dans le système de deux droites. Il faudra donc prendre $\operatorname {Tang} .\alpha =-{\frac {2c}{b}}\,;$ en égalant cette valeur à la précédente, et résolvant l’équation résultante par rapport à $m,$ il viendra

$m=-{\frac {2b(a+c)n-(bd+2ce)}{b^{2}+4c^{2}}}.$

En mettant cette valeur dans l’équation $f'=0,$ et se rappelant la relation $b^{2}-4ac=0$, le coefficient de $n^{2}$ disparaîtra, et il viendra

$n={\frac {c^{2}e^{2}+abde+2ace^{2}-acd^{2}-4af(a+c)^{2}}{2(a+c)^{2}(2cd-be)}},$

et par suite

$m={\frac {a^{2}d^{2}+bcde+2acd^{2}-ace^{2}-4af(a+c)^{2}}{2(a+c)^{2}(2ae-bd)}},$

On a en outre

$d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =(d'\operatorname {Tang} .\alpha +e')\operatorname {Cos} .\alpha$

or,$\qquad \operatorname {Tang} .\alpha =-{\frac {2c}{b}},$ d’où $\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {b}{\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}$ ; donc

$d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =-{\frac {2cd-be}{\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}\,;$