élémentaire où les théories qu’on développe ne doivent poser que sur des principes déjà démontrés. Cette sorte d’interversion, dans l’ordre des propositions, a été considérée comme nécessaire, par les auteurs en question, parce qu’ils ont jugé le principe dont il s’agit ici d’une démonstration trop difficile pour de simples élémens. Je crois donc faire une chose utile en ramenant la démonstration de ce principe aux notions élémentaires que doivent déjà avoir acquises les élèves qui parviennent à la théorie générale des équations.
Soit le polynôme du degré
dans lequel les coefficiens sont des quantités réelles finies quelconques, et où représente une variable. Puisque ce polynôme change de valeur, à chaque valeur qu’on attribue à ; il peut lui-même être considéré comme une variable. Représentant donc cette variable par on aura l’équation
qui établit entre les variables et une relation en vertu de laquelle chacune d’elles est déterminée par l’autre.
De même donc que, dans l’équation (2), se trouve exprimée en fonction de et des coefficiens, il doit y avoir réciproquement une expression de en fonction de et des mêmes coefficiens ; de manière qu’on doit avoir
désignant une fonction qui peut être inconnue, mais qui, dans tous les cas, doit être absolument déterminée. Cette dernière équation n’est, au fond, qu’une transformation de l’équation (2) ; et, si l’on en contestait l’existence, il faudrait admettre qu’il y a des valeurs de indépendantes de celles de et réciproquement, ce qui serait contradictoire avec l’équation (2), et par conséquent absurde.[1]
- ↑ Si l’équation (3) pouvait ne pas exister, c’est-à-dire, si pouvait n’être pas fonction de ; alors, en représentant par une des valeurs de qui ne dépendraient pas de celles de , le polynôme déterminé
