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POLYÈDRES RÉGULIERS.
GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Relation entre le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers
inscrits à une même sphère ;
inscrits à une même sphère ;
Par M. Flaugergues, astronome, correspondant de la
première classe de l’institut.
première classe de l’institut.
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Théorème. Soit (fig. 1) une ligne coupée en moyenne et extrême raison au point ( étant la médiane). Je dis que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre[1] comme est à ; ces deux corps étant supposés inscriptibles à la même sphère[2].
Démonstration I. Imaginons (fig. 2) trois pyramides dont le sommet commun soit au centre de la sphère, qui aient pour bases trois faces contiguës à un angle solide du dodécaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart de ce solide. Ayant tiré les lignes imaginons des plans qui passent par
- ↑ L’auteur entend ici par angle solide d’un polyèdre régulier, la portion de ce polyèdre détachée par un plan passant par les extrémités de celles de ses arêtes qui concourent à un même sommet ; portion qui est conséquemment une pyramide régulière.
- ↑ Si l’on prend pour unité on aura et la proposition de M. Flaugergues revendra à dire que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre comme est à
(Note des éditeurs.)