Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/60

54

PLAN DE.

${\begin{array}{lll}\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n-1)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {X} &+\operatorname {Cos} .\beta ^{(n-1)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} &+\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n-1)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,\\\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {X} &+\operatorname {Cos} .\beta ^{(n)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} &+\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} .\\\end{array}}$

La somme des projections des figures proposées sur ce dernier plan sera donc

${\begin{aligned}&\left\{\mathrm {F} \operatorname {Cos} .\alpha +\mathrm {F} '\operatorname {Cos} .\alpha '+\mathrm {F} ''\operatorname {Cos} .\alpha ''+\ldots +\mathrm {F} ^{(n-1)}\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n-1)}+\mathrm {F} ^{(n)}\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n)}\right\}\operatorname {Cos} .\mathrm {X} ,\\+&\left\{\mathrm {F} \operatorname {Cos} .\beta +\mathrm {F} '\operatorname {Cos} .\beta '+\mathrm {F} ''\operatorname {Cos} .\beta ''+\ldots +\mathrm {F} ^{(n-1)}\operatorname {Cos} .\beta ^{(n-1)}+\mathrm {F} ^{(n)}\operatorname {Cos} .\beta ^{(n)}\right\}\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} ,\\+&\left\{\mathrm {F} \operatorname {Cos} .\gamma +\mathrm {F} '\operatorname {Cos} .\gamma '+\mathrm {F} ''\operatorname {Cos} .\gamma ''+\ldots +\mathrm {F} ^{(n-1)}\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n-1)}+\mathrm {F} ^{(n)}\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n)}\right\}\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,\\\end{aligned}}$

Or, la somme $\mathrm {\operatorname {Cos} .^{2}X+\operatorname {Cos} .^{2}Y+\operatorname {Cos} .^{2}Z=1,}$ est une quantité constante ; donc la somme des projections des figures proposées est la plus grande, lorsque les quantités variables $\mathrm {\operatorname {Cos} .X,\operatorname {Cos} .Y,\operatorname {Cos} .Z,}$ sont entre elles respectivement comme leurs coefficiens.

Or, les coefficiens de $\mathrm {\operatorname {Cos} .X,\operatorname {Cos} .Y,\operatorname {Cos} .Z,}$ sont respectivement les sommes des projections des figures proposées sur les trois plans coordonnés. Pour abréger, que ces sommes soient désignées par $\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha ,$$\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta ,\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma ~;$ les quantités inconnues $\operatorname {Cos} .\mathrm {X} ,\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} ,$$\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,$ sont entre elles respectivement comme les quantités connues $\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha ,\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta ,\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma .$ De là on obtient

$\operatorname {Cos} .\mathrm {X} ={\frac {\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}},$

$\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} ={\frac {\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}},$

$\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ={\frac {\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}}.$

La plus grande somme de projections cherchée est

$\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \cdot \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} \cdot \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} \cdot \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma ,$

$={\frac {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}},$

$={\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}.$

Savoir : le quarré de la plus grande somme de projections des