Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/61

55

PLUS GRANDE PROJECTION.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

figures proposées est égal à la somme des quarrés des sommes des projections de ces figures sur les trois plans coordonnés.

§. 3.

Dans un tétraèdre trirectangle, le quarré de l’hypothénuse (la face opposée à l’angle solide droit) est égal à la somme des quarrés des autres faces. Donc, si l’on réduit la somme des projections des figures proposées sur chacun des plans coordonnés en un triangle rectangle ayant pour sommet l’origine des coordonnées^[1], le plan de la plus grande projection est celui de l’hypothénuse de ce tétraèdre ; et la plus grande projection cherchée est cette hypothénuse elle-même^[2].

Remarque. Lorsque, dans un tétraèdre trirectangle, les trois faces de l’angle droit sont données de grandeur, chacune de ces faces est aussi donnée d’espèce. La plus grande projection cherchée, ou l’hypothénuse de ce tétraèdre est la somme des projections de ses faces sur cette hypothénuse ; et partant, cette plus grande projection est la projection des sommes des projections des figures données sur les trois plans coordonnés.

1. Il faut, en outre, que les deux côtés de l’angle droit de chacun de ces triangles soient respectivement égaux aux côtés des deux autres qui se trouvent situés sur les mêmes axes.
2. Ce plan est très-facile à déterminer : soient, en effet, $\mathrm {A,B,C,}$ les segmens qu’il détermine sur les axes, à partir de l’origine, son équation sera
   ${\frac {x}{\mathrm {A} }}+{\frac {y}{\mathrm {B} }}+{\frac {z}{\mathrm {C} }}=1,$

   on aura d’ailleurs

   $\mathrm {BC} =2\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha ,\quad \mathrm {CA} =2\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta ,\quad \mathrm {AB} =2\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma ,$

   d’où

   $\mathrm {A} ={\sqrt {\frac {2\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta \times \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }{\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha }}},\quad \mathrm {B} ={\sqrt {\frac {2\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma \times \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha }{\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta }}},$
   $\mathrm {C} ={\sqrt {\frac {2\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha \times \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta }{\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}}~;$

   substituant ces valeurs dans l’équation du plan cherché, elle deviendra, toutes réductions faites,

   $x\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +y\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +z\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma$
   $={\sqrt {2\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha \times \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta \times \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}.$
   (Note des éditeurs.)