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PLAN DE.

§. 4.

On peut aussi exprimer la plus grande projection cherchée dans les figures données et dans les inclinaisons de leurs plans, deux à deux.

Qu’on développe, en effet, l’expression

$\int ^{2}\cdot \mathrm {F} \cdot \operatorname {Cos} .\alpha +\int ^{2}\cdot \mathrm {F} \cdot \operatorname {Cos} .\beta +\int ^{2}\cdot \mathrm {F} \cdot \operatorname {Cos} .\gamma .$

Le coefficient du quarré de l’une des faces, telle que $\mathrm {F}$ est

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma =1~;$ partant, ce développement comprend la somme des quarrés de toutes les figures données. Le coefficient du produit de deux faces, telles que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} '$, est

$2(\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '+\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '+\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '),$ et partant le double du cosinus de l’inclinaison entre elles des perpendiculaires à ces deux faces, ou le double du cosinus du supplément de l’inclinaison de ces deux faces. Partant, le quarré de la plus grande projection cherchée est l’excès de la somme des quarrés des figures proposées sur le double de la somme de leurs produits, deux à deux, par les cosinus de leurs inclinaisons (prises, intérieurement à la figure formée par les plans sur lesquels elles sont tracées).

§. 5.

Le résultat que je viens d’obtenir présente une analogie remarquable entre le sujet de ce mémoire et les propositions les plus générales de la polyhédrométrie. En effet, dans tout polyhèdre, le quarré de l’une des faces est égal à l’excès de la somme des quarrés des autres faces sur le double de la somme de leurs produits, deux à deux, par les cosinus de leurs inclinaisons^[1]. Partant, si l’on

1. Cette belle proposition est développée par Carnot, dans son ouvrage ingénieux intitulé : Géométrie de position. J’en avais envoyé le développement à l’Institut avant la publication de ce bel ouvrage. (Voyez les Mémoires présentés à l’Institut, et la note de cet auteur, P. 306). Il a été bien flatteur pour moi de me trouver d’accord avec ce grand géomètre, soit pour l’objet de mes recherches, soit pour la marche qui m’a conduit aux résultats obtenus.
   (Note de l’auteur.)