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FACULTÉS NUMÉRIQUES.

volonté, un nombre entier $h,$ de 4 à 6, ce qui suffira pour trouver jusqu’à 8 décimales le logarithme qu’on demande. On aura alors, moyennant les formules des n.^os 195 et 204 de l’ouvrage cité :

$\operatorname {Log.nat} .(+y)!=-h-y-\operatorname {Log} .(1+y)^{h|1}+\left(h+{\tfrac {1}{2}}+y\right)\operatorname {Log} .\left(1+h+y\right)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1+h+y}},$

$\operatorname {Log.nat} .(-y)!=-h+y-\operatorname {Log} .(1-y)^{h|1}+\left(h+{\tfrac {1}{2}}-y\right)\operatorname {Log} .\left(1+h-y\right)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1+h-y}},$

Moyennant ces dernières formules, le calcul des produits $(+y)!,$ et par conséquent aussi celui de toutes les facultés numériques à exposans fractionnaires, ainsi que celui des autres fonctions qui pourront y être ramenées, me paraît réduit à sa plus grande simplicité.^[1]

1. On peut encore parvenir au but par la méthode suivante. On sait que, $x$ étant un nombre quelconque, on a
   $\operatorname {Log} .(x!)={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} .2\varpi +x\operatorname {Log} .x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} .x-M\left\{x-{\frac {B_{2}}{x}}-{\frac {B_{4}}{3x^{3}}}-{\frac {B_{6}}{5x^{5}}}-\ldots \right\}\,;$

   $M$ étant le module. (Voyez Lacroix, Traité élémentaire de calcul différentiel, etc., 2.^e édit, pag. 595 ; ou Traité des différences et des séries, pag. 142).

   Soit fait, dans cette formule, $x=N+y,\ N$ étant un nombre entier arbitraire, mais qu’il conviendra de prendre au moins égal à 10, et $y$ étant la fraction comprise entre 0 et 1 pour laquelle on cherche la valeur de $\operatorname {Log} .y!.$ En substituant dans la formule ci-dessus, on obtiendra la valeur de $\operatorname {Log} .(N+y)!.$ Mais par les formules de M. Kramp, on a

   $(N+y)!=y!(y+1)^{N|1}\,;$

   d’où

   $y!={\frac {(N+y)!}{(y+1)^{N|1}}}\,;$

   et, en passant aux logarithmes,

   $\operatorname {Log} .y!=\operatorname {Log} .(N+y)!-\operatorname {Log} .(y+1)^{N|1}\,;$

   donc

   $\operatorname {Log} .y!={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} .2\varpi +\left(N+y+{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .(N+y)-\operatorname {Log} .(y+1)^{N|1}$
   $-M\left\{(N+y)-{\frac {B_{2}}{(N+y)}}-{\frac {B_{4}}{3(N+y)^{3}}}-{\frac {B_{6}}{5(N+y)^{5}}}-\ldots \right\}\,;$

   Au surplus, la méthode de M. Kramp paraît beaucoup plus expéditive ; et nous n’indiquons celle-ci que pour ceux de nos lecteurs à qui les principes sur lesquels repose la première ne seraient point familiers.

   J. D. G.