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THÉORIE DE L’ÉLIMINATION.

ANALISE.

Théorie de l’élimination, entre deux équations de degrés
quelconques, fondée sur la méthode du plus grand
commun diviseur ;

Par M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.

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J’ai donné, dans le XV.^e cahier du Journal de l’école impériale polytechnique, une théorie de l’élimination, par le plus grand commun diviseur, que j’applique à la résolution de $m$ équations algébriques, de degrés quelconques, entre $m$ inconnues. Cette théorie, pour deux équations seulement, était déjà connue, et même répandue dans la plupart des élémens d’algèbre ; mais personne, que je sache, n’avait encore fait connaître le moyen de dégager l’équation finale des racines étrangères qui s’y introduisent nécessairement, par la nature des opérations, et, par suite d’estimer le degré de cette équation, réduite aux seules racines qu’elle doit contenir. J’ai fait réflexion depuis que ce point d’analise pouvait être présenté sous un point de vue beaucoup plus simple, et qui permet d’abréger considérablement les calculs. C’est là ce qui va faire le sujet de ce mémoire.

Soient $X=0,X'=0$ deux équations complettes en $x$ et $y,$ ordonnées par rapport à $x$, la première du degré $m$ et la seconde du degré $n.$ Supposons $m>n-1$ ; en cherchant le plus grand commun diviseur des premiers membres de ces équations, avec les attentions