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QUESTIONS
![{\displaystyle {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.\ldots {\tfrac {m-n+1}{n}}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+\ldots +C_{p}+\ldots +C_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de74b0e6bde11f5a8a8057caf91bab96540a5080)
mettant, dans cette équation, pour
leurs
valeurs, on parviendra à ce résultat qui, indépendamment de la
théorie des combinaisons, présente un fait analitique assez remarquable
![{\displaystyle \quad {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b1542c87e79f267a519dcfd1399bb9ca766bcd)
![{\displaystyle ={\frac {m-n+1}{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43ade35f825d1c5fead9c7e823024bd3d52b950)
![{\displaystyle +{\frac {n-1}{1}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a883fea4893c4bc94cc3767ad0636f31ebcbd4)
![{\displaystyle +{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f388c6d10f34e35a98baf9a239bd4666ba68cc8)
![{\displaystyle +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9fceb390a55bc7cfb2a65f4bef6fb6451872b9b)
![{\displaystyle +{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}\ldots {\frac {n-p+1}{p-1}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\tfrac {m-n-1}{3}}\ldots {\tfrac {m-n-p+2}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3630066e5079380ae71c9ada39e99bb3a0831652)
![{\displaystyle +{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}\ldots {\frac {m-2n+2}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711b8ac8706130d16325a9ccfa12b6f0af13c3bf)
Nous observerons, en passant, que le dernier terme du second
membre de cette équation exprimant combien, parmi les produits
à
il s’en trouve qui ne contiennent point de lettres consécutives, résout conséquemment la question énoncée à la page 60 de
ce volume.
Examinons présentement combien il peut y avoir, dans chaque
classe, de produits de chaque genre et de chaque espèce.
Convenons de désigner généralement par
le nombre des produits
d’un genre donné qui se trouvent dans la classe
et par
le
nombre de ceux d’une espèce donnée qui se trouvent dans un genre
donné, appartenant à la même classe
Il est d’abord évident que tous les produits de la première classe
sont, à la fois, de même genre et de même espèce, en sorte
qu’on a