242
QUESTIONS RÉSOLUES.
à Trévise, et Lanjuinais, professeur à Rodez, l’ont traité par des
méthodes indirectes : mais MM. Du Bourguet et Le Grand sont les
seuls qui se soient proposés d’en assigner toutes les solutions ; ils ont
trouvé, le premier, quelles étaient au nombre de trois, et le second,
qu’elles étalent au nombre de quatre ; mais on peut dire qu’elles
sont réellement au nombre de cinq, comme nous allons le faire voir,
en suivant à peu près l’analise de M. Du Bourguet.
Solution. Soient le premier terme, et la raison de la progression ; ses quatre termes seront
et l’on devra avoir, par l’énoncé du problème,
Posant d’où cette équation deviendra
ou, en posant et développant
d’où
Soit fait d’où
et ; donc
et
Par l’inspection de ces valeurs, on voit évidemment que ne peut
être qu’un nombre impair ; posant donc il viendra enfin
La nécessité d’avoir positif renferme les valeurs de entre
et +8 ; mais, attendu que les valeurs +1, +4, +5, +7 de rendent fractionnaire, on ne peut admettre que les six systèmes que voici :