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QUESTIONS RÉSOLUES.

à Trévise, et Lanjuinais, professeur à Rodez, l’ont traité par des méthodes indirectes : mais MM. Du Bourguet et Le Grand sont les seuls qui se soient proposés d’en assigner toutes les solutions ; ils ont trouvé, le premier, quelles étaient au nombre de trois, et le second, qu’elles étalent au nombre de quatre ; mais on peut dire qu’elles sont réellement au nombre de cinq, comme nous allons le faire voir, en suivant à peu près l’analise de M. Du Bourguet.

Solution. Soient $2x$ le premier terme, et $2y$ la raison de la progression ; ses quatre termes seront

$\div 2x.2x+2y.2x+4y.2x+6y\,;$

et l’on devra avoir, par l’énoncé du problème,

$(6x+12y)(4x+6y)=(2x+y)^{3}.$

Posant $2x+y=z,$ d’où $2x=z-y,$ cette équation deviendra

$(2z+4y)(3z+9y)=z^{3},$

ou, en posant $6y=t$ et développant

$t^{2}+5zt+(6-z)z^{2}=0,$

d’où

$t=z.{\frac {-5\pm {\sqrt {4z+1}}}{2}}.$

Soit fait $\pm {\sqrt {4z+1}}=u,$ d’où

$4z+1=u^{2}$ et $z={\frac {u^{2}-1}{4}}$ ; donc

$t={\frac {\left(u^{2}-1\right)\left(u-5\right)}{8}},$

et

$y={\frac {\left(u^{2}-1\right)\left(u-5\right)}{48}},\qquad x={\frac {\left(u^{2}-1\right)\left(17-u\right)}{96}}.$

Par l’inspection de ces valeurs, on voit évidemment que $u$ ne peut être qu’un nombre impair ; posant donc $u=2v+1,$ il viendra enfin

$x={\frac {v(v+1)(8-v)}{12}},\qquad y={\frac {v(v+1)(v-2)}{6}}.$

La nécessité d’avoir $x$ positif renferme les valeurs de $v$ entre $-1$ et +8 ; mais, attendu que les valeurs +1, +4, +5, +7 de $v$ rendent $x$ fractionnaire, on ne peut admettre que les six systèmes que voici :