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SÉPARATION

$=\left\{a^{\frac {k}{\xi }}.\mathrm {E} ^{,\nu {\frac {k}{\xi }}}+{\frac {b}{\xi }}ka^{{\frac {k}{\xi }}-1}.\mathrm {E} ^{,\nu \left({\frac {k}{\xi }}-1\right)}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}k(k-\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-2}.\mathrm {E} ^{,\nu \left({\frac {k}{\xi }}-2\right)}\right.$

$+\left.{\frac {1}{6}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{3}k(k-\xi )(k-2\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-3}.\mathrm {E} ^{,\nu \left({\frac {k}{\xi }}-3\right)}+<\ldots \right\}\phi (x-k,y)$

$=a^{\frac {k}{\xi }}\phi \left\{x-k,y+\nu .{\frac {k}{\xi }}\right\}+{\frac {b}{\xi }}ka^{{\frac {k}{\xi }}-1}\phi \left\{x-k,y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-1\right)\right\}$

$+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}k(k-\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-2}.\phi \left\{x-k,y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-2\right)\right\}+\ldots$

Si $x=k$ cette expression devient

$\phi (k,y)=a^{\frac {k}{\xi }}{\mathcal {f}}\left(y+\nu {\frac {k}{\xi }}\right)+{\frac {b}{\xi }}ka^{{\frac {k}{\xi }}-1}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-1\right)\right\}$

$+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}k(b-\xi )a^{{\frac {k}{\xi }}-2}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {k}{\xi }}-2\right)\right\}+\ldots$

donc enfin

$(93)\quad \phi (x,y)=a^{\frac {x}{\xi }}{\mathcal {f}}\left(y+\nu {\frac {x}{\xi }}\right)+{\frac {b}{\xi }}xa^{{\frac {x}{\xi }}-1}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {x}{\xi }}-1\right)\right\}$

$+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{\xi }}\right)^{2}x(x-\xi )a^{{\frac {x}{\xi }}-2}.{\mathcal {f}}\left\{y+\nu \left({\frac {x}{\xi }}-2\right)\right\}+\ldots$

Si l’on avait commencé le développement de $\left(a\mathrm {E} ^{,\nu }+b\right)^{\frac {k}{\xi }}$ par le terme $b,$ ; on aurait obtenu

$(94)\quad \phi (x,y)=b^{\frac {x}{\xi }}{\mathcal {f}}y+{\frac {a}{\xi }}xb^{{\frac {x}{\xi }}-1}.{\mathcal {f}}\left(y+\nu \right)$

$+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{\xi }}\right)^{2}x(x-\xi )b^{{\frac {x}{\xi }}-2}.{\mathcal {f}}\left(y+2\nu \right)+\ldots$

Ces deux intégrales ne coïncident qu’autant qu’elles se terminent ; ce qui n’arrive que dans deux cas : savoir, 1.^o quand $\xi =1$  ; 2.^o quand ${\frac {x}{\xi }}$ est un nombre entier positif. Hors ces deux cas, les deux intégrales vont à l’infini, et diffèrent entre elles comme deux développemens de la même fonction commencés par les deux extrémités.

26. Soit enfin l’équation aux différences mêlées partielles

$(95)\qquad \phi (x+\xi ,y)=a\partial ^{,1}\phi (x,y),\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {E} ^{\xi ,}\phi (x,y)=a\partial ^{,1}\phi (x,y).$

On aura, en détachant les échelles,

$(96)\qquad \mathrm {E} ^{\xi ,}=a\partial ^{,1}\,;$