Dans le cas particulier où la courbe est une parabole, la supposition entraîne ; en supposant donc toujours l’équation de (Q) se réduit à ; ce qui prouve que, dans la parabole la portion du diamètre comprise entre la droite et son pôle est coupée en deux parties égales par la courbe.
Du théorème qui vient d’être démontré, on peut conclure le suivant :
THÉORÈME. Le point de concours de deux tangentes quelconques à une ligne du second ordre est sur le conjugué du diamètre auquel la droite qui joint les points de contact de ces deux tangentes est parallèle.
Il suit évidemment de la nature des pôles des lignes du second ordre que, si deux droites, tracées sur le plan d’une pareille ligne, sont telles que la seconde passe par le pôle de la première, la première passera réciproquement par le pôle de la seconde. Si donc la seconde tourne autour du pôle de la première, son pôle sera mû suivant cette première. De là résulte encore cet autre théorème :
THÉORÈME. Si une droite, tracée sur le plan d’une ligne du second ordre, se meut autour d’un point fixe, pris comme on voudra, sur sa direction, son pôle sera mû suivant une parallèle au conjugué du diamètre mené à la courbe par ce point fixe ; et réciproquement.
On sait qu’une surface (S) du second ordre étant donnée ; si on la rapporte à trois axes respectivement parallèles à trois diamètres conjugués, son équation prendra la forme
on sait, de plus, qu’en prenant un pôle (P) dont les coordonnées
