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NOMBRES

§. II

Recherche des principales formules de la théorie des nombres
figurés.

Parce que $A_{m,n}$ est une fonction symétrique des nombres $m$ et $n,$ nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple

$A_{m,n}=(m,n).$

En conséquence, nous aurons

$(m,n)=(n,m),\qquad$(6)

et, quels que soient $p$ et $q$

$(0,p)=(0,q)=(p,0)=(q,0)=1.\qquad$(7)

Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut permuter entre eux les nombres $m$ et $n,$ donnera

${\begin{aligned}m(m,n)&=(m+n)(m-1,n),\\n(m,n)&=(m+n,n)(m,n-1)\,;\\\end{aligned}}$

la somme de ces deux équations, divisée par $m+n,$ sera

$(m,n)=(m-1,n)+(m,n-1)\,;\qquad$(8)

or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi $(m,n)$ est la formule générale des nombres figurés.

L’équation (6) exprime donc que le $(n+1)^{me}$ nombre figuré du $m.^{me}$ ordre est égal au $(m+1)^{me}$ nombre figuré du $n.^{me}$ ordre ; et l’équation (8) exprime que le $(m+1)^{me}$ nombre figuré du $n.^{me}$ ordre, ou le $(n+1)^{me}$ nombre figuré du $m.^{me}$ ordre, est la somme du $m.^{me}$ nombre figuré du $n.^{me}$ ordre et du $n.^{me}$ nombre figuré du $m.^{me}$ ordre.

De cette dernière on tire

$(m,n)-(m-1,n)=(m,n-1)\,;$

substituant successivement pour $m,$ dans celle-ci, les nombres $1,2,3\ldots m,$ il viendra