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DES GRANDEURS IMAGINAIRES.

Il existe, à la vérité, des démonstrations tendant à établir que la fonction $\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)^{m+n{\sqrt {-1}}}$ peut toujours être réduite à la forme $p+q{\sqrt {-1}}\,;$ mais qu’il nous soit permis de remarquer sur ces démonstrations, que celles qui emploient le développement en séries, ne sauraient être concluantes qu’autant qu’on prouverait que $p$ et $q$ ont des valeurs finies. Il arrive souvent, en effet, dans l’analise, qu’une série qui, par sa nature, ne peut exprimer que des quantités réelles, prend une valeur, ou plutôt une forme infinie ; lorsqu’elle doit représenter une quantité imaginaire ; et on peut présumer pareillement qu’une série composée de termes de la forme $p+q{\sqrt {-1}}$ ou $a_{b},$ peut devenir infinie, si elle doit exprimer une quantité de l’ordre $a_{b_{c}}.$

Quant aux démonstrations qui emploient les logarithmes, elles laissent aussi, ce nous semble, quelques nuages dans l’esprit, en ce qu’on n’a pas encore des notions bien précises sur les logarithmes imaginaires. Il faudrait d’ailleurs s’assurer si un même logarithme ne pourrait pas appartenir à la fois à plusieurs quantités d’ordres différents $a,a_{b},a_{b_{c}}.$ En outre, la multiplicité des valeurs dues aux radicaux de l’expression proposée, est une autre source d’incertitude ; de telle sorte qu’on pourrait parvenir, de la manière la plus rigoureuse, à réduire $\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)^{m+n{\sqrt {-1}}}$ à la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ sans qu’il s’ensuivit nécessairement que cette fonction n’a pas encore d’autres valeurs de l’ordre $a_{b_{c}},$ non réductibles à cette forme^[1].

1. On ne peut, sans doute, que savoir beaucoup de gré à M. Français d’avoir, en quelque sorte, provoqué M. Argand à donner plus de publicité à ses vues sur l’un des points les plus délicats et les plus épineux de l’analise algébrique. Espérons qu’il s’établira désormais une heureuse rivalité entre ces deux estimables géomètres, et qu’ils s’empresseront, à l’envi l’un de l’autre, à perfectionner et à éclaircir l’intéressante théorie dont ils viennent de poser les fondemens.
   J. D. G.