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PROBLÈMES

Le premier terme de la série étant ce que devient $r,$ dans le cas de $\lambda =0,$ c’est-à-dire, égal à l’unité ; pour trouver ${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}$, faisons encore

$\left.{\begin{aligned}x&=\operatorname {Sin} .\lambda ,\\y&=\operatorname {Cos} .\phi \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad {\text{d’où}}\quad \left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} x&=\operatorname {d} \lambda \operatorname {Cos} .\lambda ,\\\operatorname {d} y&=-\operatorname {d} \phi \operatorname {Sin} .\phi \,;\\\end{aligned}}\right.$

donc

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=\operatorname {Cos} .\lambda ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy),\quad {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy)\,;$

de plus

$r={\frac {1-x^{2}}{1-xy}},$

d’où, on conclura, après les réductions, la formule très-simple ${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}=y\operatorname {Cos} .\lambda .$

13. Pour effectuer, avec facilité, les différentiations ultérieures, remarquons que le rapport différentiel ${\frac {\mathrm {d^{n}r} }{\operatorname {d} \lambda ^{n}}}$ aura généralement la forme ${\frac {z}{\operatorname {Cos} .^{n-2}\lambda }};$ la lettre $z$ désignant un polynôme ordonné selon les puissances ascendantes de $x$ et de $y,$ et dont la différentielle complète pourra être supposée $dz=P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y.$ Il en résultera, après les réductions, le rapport suivant

${\frac {\operatorname {d} ^{n+1}r}{\operatorname {d} \lambda ^{n+1}}}={\frac {(n-2)zx+P(1-x^{2})+Q(2-xy-2y^{2}+xy^{3})}{\operatorname {Cos} .^{n-2}\lambda }}.$

Aidé de cette formule générale, on passera facilement d’un rapport différentiel à l’autre ; les multiplications à faire seront la seule difficulté qu’il faudra surmonter.

Ainsi, ayant eu ${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}=y\operatorname {Cos} .\lambda ,$ on aura d’abord, par la différentiation,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}=2-2xy-2y^{2}+xy^{3}\,;$