Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/184

174

PROBLÈMES

et l’on aura finalement

$\operatorname {Cos} .(\theta +\mathrm {K} )={\frac {1}{\mathrm {R} }}.$

Le problème sera résolu.

28. PROBLÈME VI. On demande de comprendre les époques des conjonctions et des oppositions d’une planète dans une seule série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des deux excentricités ?

29. Solution. Par les mêmes raisons exposées au sujet du précédent problème, le temps, sera compté d’une époque où, la terre étant dans son aphélie en $\mathrm {A} ,$ la planète était très-près de l’une de ses deux apsides $\mathrm {B}$ ou $\mathrm {B'}$. Les quantités données du problème seront donc : savoir, les demi-grands axes $a,b$ des deux orbites ; les deux demi-petits axes $a\operatorname {Cos} .\lambda ,b\operatorname {Cos} .\mu$ ; les deux révolutions anomalistiques, $p,q$ ; enfin l’angle $\mathrm {AFB}$ que les deux grands axes font entre eux, et que nous désignerons par $\epsilon$ ; et les lettres $\phi$ et $\psi$ continueront à désigner les anomalies vraies $\mathrm {AFP,BFQ}$ des deux planètes au bout du temps $t.$ On aura ainsi $\mathrm {AFP} =\phi ,\mathrm {AFQ} =\epsilon +\psi$ ; ce qui donne, pour le cas du problème $\phi -\psi -\epsilon =n\varpi$ ; la lettre $n$ désignant un nombre entier pris à volonté, pair dans les conjonctions, impair dans les oppositions. Il en résulte l’équation différentielle $\mathrm {d} \phi =\mathrm {d} \psi$ ; c’est la première des équations différentielles qui nous conduiront à la connaissance des coefficiens.

30. La série étant supposée de la forme

${\begin{aligned}t=A+B\lambda +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}&+\ldots \\+B'\mu +C'\lambda \mu +D'\lambda ^{2}\mu &+\ldots \\C''\mu ^{2}+D''\lambda \mu ^{2}&+\ldots \\+D'''\mu ^{3}&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}$

Le premier terme $A$ sera ce que devient $t$ dans le cas de $\lambda =0,\mu =0\,;$ or, on a, dans ce cas, ${\frac {2\varpi t}{p}}=\phi ,\ {\frac {2\varpi t}{q}}=\psi ,$ ce qui fournit l’équation ${\frac {2\varpi t}{p}}=\phi -{\frac {2\varpi t}{q}}=n\varpi +\epsilon$ ; donc