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QUESTIONS

deux angles droits ; c’est-à-dire, si le point $\mathrm {F}$ est sur la corde $\mathrm {M'M'',}$ chacun de ces deux angles sera droit ou, en d’autres termes, $\mathrm {OF}$ sera perpendiculaire sur $\mathrm {M'M''}$ ; la somme des deux angles $\mathrm {FOM'}$ et $\mathrm {FM'O}$ vaudra donc deux angles droits ; et, puisque le dernier est égal à $\mathrm {FOM'',}$ il en résulte que l’angle $\mathrm {M'OM''}$ est alors droit.

Lorsque les trois points $\mathrm {M',F,M''}$ sont en ligne droite, on a

${\frac {y'}{x'-c}}={\frac {y''}{x''-c}},$

ou

$y'\left\{{\frac {y''^{2}}{4c}}-c\right\}=y''\left\{{\frac {y'^{2}}{4c}}-c\right\},$

ou$\qquad \qquad \qquad \qquad \left(y'y''+4c^{2}\right)(y'-y'')=0,$

ou simplement

$y'y''+4c^{2}=0\,;$

ce qui donne

$a={\frac {y'y''}{4c}}=-c\,;$

ainsi alors le point $\mathrm {O}$ est perpétuellement sur la directrice.

Voici présentement la démonstration de M. Bérard, qui est purement géométrique.

Par les trois points $\mathrm {M',M'',O}$ (fig. 2) soient menées des parallèles à l’axe ; et soit $\mathrm {H}$ le point où la dernière rencontre la courbe. Par ce point $\mathrm {H}$ soient menées des parallèles à $\mathrm {OM'}$ et à $\mathrm {OM'',}$ rencontrant respectivement en $\mathrm {P',P''}$ les diamètres menés par $\mathrm {M',M''.}$ Le quarré d’une ordonnée au diamètre étant le produit de l’abscisse par le quadruple de la distance du sommet de ce diamètre au foyer ; on a

$\mathrm {\overline {HP'}} ^{2}=4\mathrm {M'F} \times \mathrm {M'P'} ,\qquad \mathrm {\overline {HP''}} ^{2}=4\mathrm {M''F} \times \mathrm {M''P''} \,;$