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QUESTIONS

pour la différentielle de la somme des angles extérieurs, différentielle que nous représenterons conséquemment par $\operatorname {d} s,$ et de laquelle dépend la solution de notre problème, l’expression suivante

\operatorname {d} s={\frac {h.SM\left(\operatorname {d} t\operatorname {d} ^{2}u-\operatorname {d} u\operatorname {d} ^{2}t\right)}{h^{2}\left(\operatorname {d} t^{2}+\operatorname {d} u^{2}\right)+(t\operatorname {d} u-u\operatorname {d} t)^{2}}}

7. Si nous désignons, en outre, par $A$ la portion de la surface convexe de ce corps conique ; comprise entre les deux arêtes $\mathrm {AL,AN,}$ nous aurons

\operatorname {d} A={\sqrt {h^{2}\left(\operatorname {d} t^{2}+\operatorname {d} u^{2}\right)+(t\operatorname {d} u-u\operatorname {d} t)^{2}}},

d’où

\operatorname {d} s={\frac {h\operatorname {d} t\operatorname {d} ^{2}u{\sqrt {h+t^{2}+u^{2}}}}{4\operatorname {d} A^{2}}}.

L’expression de $\operatorname {d} s$ est donc beaucoup plus compliquée que celle de $\operatorname {d} A$ ; et, comme cette dernière n’est intégrable que dans un nombre de cas très-borné, desquels celui du cône oblique, à base circulaire, est formellement exclu ; on voit que l’on doit encore moins se flatter d’une solution complète du problème qui concerne la capacité des angles au sommet.

8. À la place des coordonnées rectangulaires $t$ et $u,$ essayons de substituer le rayon vecteur $\mathrm {AM} =r$ et l’angle $\mathrm {MAZ} =\phi$ qu’il fait avec l’axe des $t,$ ce qui donne $t=r\operatorname {Cos} .\phi ,\ u=r\operatorname {Sin} .\phi$ . On trouvera ainsi

\operatorname {d} A={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}\operatorname {d} r^{2}+\left(h^{2}+r^{2}\right)r^{2}\operatorname {d} \phi ^{2}}}\,;

et si l’on fait $\operatorname {d} \phi$ constant, d’où $\operatorname {d} ^{2}\phi =0,$ on aura

\operatorname {d} s={\frac {2\operatorname {d} r^{2}\operatorname {d} \phi +r^{2}\operatorname {d} \phi ^{3}-r\operatorname {d} ^{2}r\operatorname {d} \phi }{h^{2}\operatorname {d} r^{2}+\left(h^{2}+r^{2}\right)r^{2}\operatorname {d} \phi ^{2}}}.h{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}.