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THÉORIE GÉNÉRALE

16. PROBLÈME. On a un polynôme $Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +T,$ dont tous les termes sont positifs ; et l’on sait qu’un nombre $a,$ substitué à $x$, dans ce polynôme a donné un résultat $k.$ On demande un nombre $\beta$ tel que, si l’on substitue $a+\beta$ pour $x$, dans ce même polynôme, le nouveau résultat soit plus grand que $k$ et moindre que $k+h,\ h$ étant une quantité positive donnée, et qui peut être prise aussi petite qu’on voudra ?

Solution. Mettons, en effet, $a+\beta$ pour $x$, ce qui nous donnera

${\begin{array}{ll}Ax^{m}&=Aa^{m}+{\frac {m}{1}}Aa^{m-1}\beta +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}Aa^{m-2}\beta ^{2}+\ldots +A\beta ^{m}\\Bx^{m-1}&=Ba^{m-1}+{\frac {m-1}{1}}Ba^{m-2}\beta +{\frac {m-1}{1}}.{\frac {m-2}{2}}Ba^{m-3}\beta ^{2}+\ldots \\Cx^{m-2}&=Ca^{m-2}+{\frac {m-2}{1}}Ca^{m-3}\beta +{\frac {m-2}{1}}.{\frac {m-3}{2}}Ca^{m-4}\beta ^{2}+\ldots \\T&=T.\\\end{array}}$

Or nous avons, par hypothèse ;

$Aa^{m}+Ba^{m-1}+Ca^{m-2}+\ldots +T=k\,;$

en désignant donc respectivement par $P,Q,R,\ldots$ les coefficiens de $\beta ,\beta ^{2},\beta ^{3},\ldots$, tout se réduira à prendre $\beta$ de manière que

Tout se réduit, en effet, à prouver l’absurdité de la prétendue identité

$(x-a)(x-b)(x-c)\ldots (x-r)=(x-\alpha )\left(x^{m-1}+A'x^{m-2}+B'x^{m-3}+\ldots +T'\right)^{2}$

Or, cette absurdité s’aperçoit sur-le-champ, en y faisant $x=\alpha$ ; elle devient alors, en effet

$(\alpha -a)(\alpha -b)(\alpha -c)\ldots (\alpha -r)=(\alpha -\alpha )\left(\alpha ^{m-1}+A'\alpha ^{m-2}+B'\alpha ^{m-3}+\ldots +T'\right)=0\,;$

en sorte qu’elle exprime que le produit d’une suite de nombres tous différens de zéro est égal à zéro.

Cette remarque est de M. Fauquier, ancien élève du lycée de Nismes, maintenant élève à l’école du génie.

J. D. G.