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DES ÉQUATIONS

$P\beta +Q\beta ^{2}+R\beta ^{3}+\ldots +A\beta ^{m}$

soit moindre que $h.$

Soit $S$ le plus grand des coefficiens $P,Q,R,\ldots A$ ; il est clair que, si nous trouvons pour $\beta$ une valeur qui rende

$S\beta +S\beta ^{2}+S\beta ^{3}+\ldots +S\beta ^{m}$ moindre que h,

nous aurons, à plus forte raison,

$P\beta +Q\beta ^{2}+R\beta ^{3}+\ldots +A\beta ^{m}$ moindre que h.

Mais

${\begin{aligned}S\beta +S\beta ^{2}+S\beta ^{3}+\ldots +S\beta ^{m}&=S\beta \left(1+\beta +\beta ^{2}+\ldots +\beta ^{m-1}\right)\\&=S\beta .{\frac {1-\beta ^{m}}{1-\beta }}\\&={\frac {S\beta }{1-\beta }}-{\frac {S\beta ^{m+1}}{1-\beta }}\,;\\\end{aligned}}$

puis donc que cette quantité doit être moindre que $h,$ nous n’avons qu’à faire ${\frac {S\beta }{1-\beta }}=h$ ; ce qui donne $\beta ={\frac {h}{S++h}}$ ; et le problème est résolu.

Car 1.^o $\beta$ est évidemment moindre que l’unité ; d’où il suit que ${\frac {S\beta }{1-\beta }}-{\frac {S\beta ^{m+1}}{1-\beta }}$ est une quantité positive, et qu’ainsi le résultat de la substitution de $a+\beta$ sera plus grand que $k.$

2.^o Ce nouveau résultat est moindre que $k+h,$ puisque ${\frac {S\beta }{1-\beta }}=h,$ et que ce qu’il faut retrancher de ${\frac {S\beta }{1-\beta }}$ pour avoir l’excès du nouveau résultat sur le premier, ou plutôt une quantité plus grande que cet excès, est ${\frac {S\beta ^{m+1}}{1-\beta }}$ ; quantité positive et moindre que $h.$

Exemple. Soit proposé le polynôme $x^{3}+5x^{2}+4x+12$ qui, lorsqu’on y fait $x=4,$ donne le résultat $172.$ Et soit demandée pour