31. THÉORÈME. Toute équation qui n’a pas de racines réelles a autant de racines imaginaires de la forme qu’il y a d’unités dans le plus haut exposant de l’inconnue.
Démonstration. 1.o Toute équation qui n’a pas de racines réelles est de degré pair (25).
2.o Toute équation qui n’a pas de racines réelles en a au moins deux imaginaires, telles que, l’une d’elles étant représentée par l’autre peut être représentée par (30).
3.o Le premier membre de l’équation proposée étant divisible par et par est nécessairement divisible par le produit de ces deux diviseurs, c’est-à-dire, par or, ce produit, étant réel, donnera un quotient réel de la forme .
4.o Ce quotient peut être égalé à zéro, ce qui donne une nouvelle équation, laquelle étant exactement dans le cas de la précédente a
Présentement on a
ou, en vertu des deux équations ci-dessus
donc est diviseur de
Présentement, pour que ne fût pas divisible par le produit il faudrait que les deux facteurs de ce produit eussent un diviseur commun ; et, comme tout diviseur commun à deux quantités divise aussi leur somme et leur différence, il faudrait que ce diviseur divisât aussi et ce qui ne peut avoir lieu si, comme nous le supposons, et sont premier entre eux.