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DES IMAGINAIRES.

miné de la même manière que $a_{\alpha },$ et que l’analogie supposée entre les angles et les lignes ne subsiste pas.

Vous avez dû remarquer, au surplus, Monsieur, que M. Argand ne démontre pas ma proposition $a_{\alpha }=a\left(\operatorname {Cos} .\alpha +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)$ ; et que cette proposition fondamentale n’est chez lui qu’une simple supposition, justifiée seulement par quelques exemples.^[1]

Je n’ai pas trop vu non plus, Monsieur, pourquoi M. Argand, n.^o 11 (pag. 144), introduit une nouvelle unité, en posant $2\varpi =1$ ; cela m’a paru répandre de l’obscurité sur le reste de son mémoire.

Enfin j’aurais peine à passer à cet estimable géomètre son assertion sur la non réductibilité de $\left(c{\sqrt {-1}}\right)^{d{\sqrt {-1}}}$ à la forme $A+b{\sqrt {-1}}.$

On a, en effet,

c{\sqrt {-1}}=e^{\operatorname {Log} .\left(c{\sqrt {-1}}\right)}=e^{\operatorname {Log} .c+\operatorname {Log} .{\sqrt {-1}}}=e^{\operatorname {Log} .c+{\tfrac {1}{2}}\varpi {\sqrt {-1}}}=e^{\operatorname {Log} .c}.e^{{\tfrac {1}{2}}\varpi {\sqrt {-1}}}\,;

donc

\left(c{\sqrt {-1}}\right)^{d{\sqrt {-1}}}=e^{d\operatorname {Log} .c{\sqrt {-1}}}.e^{-{\tfrac {1}{2}}d\varpi }

=e^{-{\tfrac {1}{2}}d\varpi }\left\{\operatorname {Cos} .\left(d\operatorname {Log} .c\right)+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\left(d\operatorname {Log} .c\right)\right\}

qui est bien de la forme $A+B{\sqrt {-1}}.$ Je crois donc être fondé à ne regarder la forme $\left(e{\sqrt {-1}}\right)^{d{\sqrt {-1}}}$

qu’il assigne à la troisième coordonnée que comme une simple conjecture sujette à une sérieure contestation.

↑ La démonstration de cette proposition n’était point nécessaire dans le système de M. Argand qui a admis, comme définition de nom, que la somme dirigée de plusieurs droites dirigées se compose de l’ensemble des expressions de ces droites prises eu égard à leurs signes de direction ; et M. Argand n’a fait en ceci que donner une extension fort naturelle à une dtfinition généralement admise en algèbre.
J. D. G.

[1] La démonstration de cette proposition n’était point nécessaire dans le système de M. Argand qui a admis, comme définition de nom, que la somme dirigée de plusieurs droites dirigées se compose de l’ensemble des expressions de ces droites prises eu égard à leurs signes de direction ; et M. Argand n’a fait en ceci que donner une extension fort naturelle à une dtfinition généralement admise en algèbre.
J. D. G.

[1]