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THÉORIE

Lettre de M. Servois.

J'accueille ordinairement avec faveur, mon vieux camarade, les idées nouvelles en fait de doctrine, sur-tout lorsqu’elles se présentent sous la garantie de noms connus honorablement, par d’autres travaux scientifiques. Loin donc que je songe à donner aux Idées de MM. Argand et Français sur les Imaginaires les qualifications odieuses d’inutiles, d’erronées, etc., qui ne prouveraient autre chose que peu de courtoisie et beaucoup de prévention de ma part ; je désire vivement, au contraire, qu’elles puissent acquérir, avec le temps, ce qui leur manque encore, sous le rapport de l’évidence et de la fécondité. C’est donc dans cet esprit ; c’est autant dans l’intérêt de la science que pour satisfaire au vœu que vous manifestez de connaître mon opinion personnelle sur ce sujet, que je hasarde ici les réflexions suivantes.

1.° La démonstration du 1.^er théorème de M. Français (pag. 65) est, à mon avis, tout à fait insuffisante et incomplète. En effet, cette proposition, qui en fait la base : « la quantité $\pm a{\sqrt {-1}}$ est une moyenne proportionnelle de grandeur et de position entre $+a$ et $-a$ », équivaut à ces deux-ci, dont une ($\pm a{\sqrt {-1}}$ moyenne de grandeur entre $+a$ et $-a$) est évidente, et dont l’autre ($\pm a{\sqrt {-1}}$ moyenne de position entre $+a$ et $-a$) n’est pas prouvée, et renferme précisément le théorème dont il s’agit.^[1]

1. La moyenne proportionnelle de grandeur entre $+a$ et $-a$ n’est et ne saurait être que $a$ ; car, lorsqu’on parle uniquement de grandeur, on doit faire abstraction des signes ; et ${\sqrt {a.a}}=a.$ Mais lorsqu’on prend pour la moyenne $\pm a{\sqrt {-1}}$, on annonce par là même qu’on a eu égard aux positions inverses de $+a$ et $-a$ ; la moyenne doit donc alors conserver l’empreinte de cette considération ; elle est donc, par le fait même, une moyenne de position aussi bien que de