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PROBLÈMES

$\operatorname {Tang} .B={\frac {r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Sin} .\beta }{r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )-a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )}}.$

46. Multipliant ces deux équations par le dénominateur commun des fractions qui forment leurs seconds membres, elles deviendront en réduisant

$a\operatorname {Sin} .(\theta -A)=r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Sin} .(\delta -A)+r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Cos} .\beta .$

$a\operatorname {Tang} .B\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )=r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Tang} .B-r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Sin} .\beta .$

47. Arrêtons-nous à ces deux produits $r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )$ et $r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )$ qui font fonction de facteurs dans ces deux formules, et qui ne sont autre chose que les deux coordonnées rectangulaires $\mathrm {SN,MN}$ du point $\mathrm {M}$ de l’ellipse rapportées au foyer $\mathrm {S}$ comme origine, et à la ligne des nœuds $\mathrm {SN}$ comme axe. En les désignant respectivement par $bP$ et $bQ,$ et en employant les développemens donnés au n.^o 45, nous aurons

$P=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi ),$

$Q=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\,;$

ou bien

$P=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,$

$Q=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu .$

En employant cette notation, on aura

$a\operatorname {Sin} .(\theta -A)=bP\operatorname {Sin} .(\delta -A)+bQ\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Cos} .\beta ,$

$a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )\operatorname {Tang} .B=bP\operatorname {Tang} .B-bQ\operatorname {Cos} .(\delta -A)\operatorname {Sin} .\beta .$

La ligne $\mathrm {MT} ,$ distance de l’astre à la terre, égale à ${\tfrac {\mathrm {LM} }{\operatorname {Sin} .B}}={\tfrac {r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .B}},$ deviendra, par cette même notation, ${\tfrac {bQ\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .B}}.$

48. Si on multiplie la première de ces équations par $\operatorname {Sin} .\beta ,$ l’autre par $\operatorname {Cos} .\beta ,$ et qu’on les ajoute ensemble, on aura une nouvelle équation débarrassée de $Q$ et ne renfermant que $P$ seul. Multipliant de même la première par $\operatorname {Tang} .B,$ la seconde par $\operatorname {Sin} .(\delta -A)$ et