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TRANSFORMATION

6. Dans le cas où le développement se termine, et où conséquemment $N=0,$ on a simplement

${\frac {Ab^{m}}{B}}=M\,;$

d’où l’on voit qu’alors $b^{m}$ doit être exactement divisible par $B$ ; et dans le cas où ce développement est immédiatement périodique, et où conséquemment $M=0,$ on a simplement

${\frac {A\left(b^{n}-1\right)}{B}}=N\,;$

d’où l’on voit qu’alors $b^{n}-1$ doit être exactement divisible par $B.$ Ainsi, 1^o. lorsque le développement de la fraction génératrice se termine, son dénominateur est diviseur exact de quelque puissance de la base de ce développement, c’est-à-dire, qu’il ne contient aucun facteur premier étranger à cette base ; 2^o. lorsque ce développement est immédiatement périodique, le dénominateur de la fraction génératrice, premier à la base, est nécessairement diviseur exact de quelque nombre moindre d’une unité qu’une puissance de cette base.^[1]

7. Soit toujours $B=CD,\ C$ et $D$ étant les mêmes que ci-dessus (5). Soit $m$ la moindre des puissances $b$ qui soit divisible par C$,$ et soit $n$ la moindre des puissances de ce même nombre $b$ qui, diminuée d’une unité, devienne divisible par $D$ ; il suit de ce qui a été dit ci-dessus, que le développement de ${\frac {A}{B}}$ suivant la base $b$ ne pourra avoir moins de $m$ termes avant la première période, ni moins de $n$ termes à chaque période. Nous allons prouver de

1. De là résulte ce théorème : $a$ et $b$ étant deux nombres entiers premiers entre eux, l’équation
   $b^{x}-1=ay$

   est toujours résoluble en nombres entiers.