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RÉSOLUES.

$x'A+(y'-b)C=0,\qquad$(4)$\qquad y'B+(x'-a)C=0\,;\qquad$(5)

équations qui, jointes aux équations (1), (2), (3) résolvent le problème.

En mettant dans ces derniers pour $A$ et $B$ leurs valeurs données par les équations (4) et (5), et divisant par $C,$ on obtiendra pour $C$ trois valeurs au premier degré, et en égalant chacune des deux premières à la troisième, les deux équations en $x',y'$ qui en résulteront, pourront être mises sous cette forme

$(2x'-a)(bx'+2ay'-ab)=0,$

$(2y'-b)(ay'+2bx'-ab)=0.$

Comme il suffit, pour satisfaire à ces équations d’égaler à zéro un quelconque des deux facteurs du premier membre de chacune d’elles, il s’ensuit qu’elles doivent donner, pour les inconnues $x',y',$ quatre systèmes de valeurs. De ces quatre systèmes trois doivent être rejetés, parce qu’ils appartiennent aux milieux des côtés du triangle donné, lesquels ne sauraient être des centres d’ellipses inscrites ; quant au quatrième système qui résulte de l’égalité des derniers facteurs à zéro, il donne

$x'={\tfrac {1}{3}}a,\qquad y'={\tfrac {1}{3}}b\,;$

on en conclut ensuite

$C=-{\frac {6}{ab}},\qquad A=-{\frac {12}{a^{2}}},\qquad B=-{\frac {12}{b^{2}}}\,;$

$AB-C^{2}={\frac {108}{a^{2}b^{2}}}$

d’où

${\frac {\varpi \operatorname {Sin} .\gamma }{\sqrt {AB-C^{2}}}}={\frac {\varpi }{3{\sqrt {3}}}}.{\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\gamma \,;$

et les points de contact seront les milieux des côtés.

Ainsi, la plus grande ellipse inscriptible à un triangle a son centre au centre de gravité de l’aire de ce triangle, et touche ses trois côtés à leurs milieux ; d’où il suit que le triangle dont les