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GÉOMÉTRIE

quantités négatives (les abscisses et les ordonnées) ; car, dès qu’on admet la définition 4.^e des quantités positives et des quantités négatives ; il n’est plus permis d’en introduire d’autres qui ne soient pas comprises dans cette définition ; et l’on est obligé forcément d’admettre toutes les conséquences que cette même définition entraîne. Ces conséquences heurtent, à la vérité, les idées reçues ; mais c’est que ces idées sont fondées sur un défaut de dialectique, qui consiste à admettre deux principes, et deux principes incompatibles, là où un seul serait suffisant.

Théorème 2. Le signe de position $1_{\alpha }$ a pour valeur $e^{\alpha {\sqrt {-1}}}\,;$ c’est-à-dire, que $1_{\alpha }=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}.$

Démonstration. Supposons que la demi-circonférence décrite d’un rayon $=1$ soit divisée, dans le sens des angles positifs, en $m$ parties égales, et qu’on mène des rayons aux points de division ; ces rayons formeront, d’après la définition 3.^e, une progression de grandeur et de position : or, les deux termes extrêmes de cette progression étant $1_{0}=+1$ et $1_{\varpi }=-1=e^{\varpi {\sqrt {-1}}},$ les termes intermédiaires $1_{\frac {\varpi }{m}},1_{\frac {2\varpi }{m}},1_{\frac {3\varpi }{m}},\ldots 1_{\frac {(m-1)\varpi }{m}}$ auront pour valeurs $e^{{\frac {\varpi }{m}}{\sqrt {-1}}},e^{{\frac {2\varpi }{m}}{\sqrt {-1}}},e^{{\frac {3\varpi }{m}}{\sqrt {-1}}},\ldots e^{{\frac {(m-1)\varpi }{m}}{\sqrt {-1}}}\,;$ de sorte qu’en général on aura $1_{\frac {n\varpi }{m}}=e^{{\frac {n\varpi }{m}}{\sqrt {-1}}}\,;$ et, comme ${\frac {n\varpi }{m}}$ peut représenter un angle quelconque, on aura finalement $1_{\alpha }=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}.$

Corollaire 1.^er Si l’on prend les logarithmes naturels des deux membres de l’équation $1_{\alpha }=e^{\alpha {\sqrt {-1}}},$ on aura $\alpha {\sqrt {-1}}=Log.(1_{\alpha })$ ce qui fait voir qu’en géométrie de position les arcs de cercle sont les logarithmes des rayons correspondans. Ces arcs de cercle sont, comme on le voit, affectés du signe de position ${\sqrt {-1,}}$ ce qui paraît très-naturel, puisque leur direction est dans un sens perpendiculaire à l’axe des abscisses.