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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

nôme et même infinitinôme, en général, que j’appelle la différentielle de $z.$

Il s’ensuit, sur-le-champ, que

$\Delta \operatorname {d} z-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {d} z+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {d} z-\ldots =\operatorname {d} ^{2}z\,;$

et, en général

$\Delta \operatorname {d} ^{n}z-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {d} ^{n}z+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {d} ^{n}z-\ldots =\operatorname {d} ^{n+1}z.\qquad$(40)

$\operatorname {d} ^{2}z,\operatorname {d} ^{3}z,\ldots \operatorname {d} ^{n}z,$ sont les différentielles de différens ordres de $z.$

Cela étant, l’équation (38) devient

$\alpha fy=\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-y\operatorname {d} fy.\qquad$(41)

Je prends les différences successives de celle-ci, et j’ai, eu égard à la formule (30),

${\begin{array}{rl}\alpha \Delta \ \ fy&=\Delta \operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-\alpha \operatorname {d} fy-(y+\alpha )\Delta \operatorname {d} fy,\\\alpha \Delta ^{2}fy&=\Delta ^{2}\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-2\alpha \Delta \operatorname {d} fy-(y+2\alpha )\Delta ^{2}\operatorname {d} fy,\\\alpha \Delta ^{3}fy&=\Delta ^{3}\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-3\alpha \Delta ^{2}\operatorname {d} fy-(y+3\alpha )\Delta ^{3}\operatorname {d} fy,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{array}}$

Je prends la somme des produits respectifs de ces équations par $+1,-{\tfrac {1}{2}},+{\tfrac {1}{3}},-\ldots$ et j’ai, en réduisant

$\alpha \left(\Delta fy-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}fy+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}fy-\ldots \right)=$

$\Delta \operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-\ldots$

$-\alpha \operatorname {d} fy-y\left(\Delta \operatorname {d} fy-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {d} fy+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {d} fy-\ldots \right)$

équation qui, d’après les notations fixées (39), (40), devient

$\alpha \operatorname {d} fy=\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} (x+y)-\alpha \operatorname {d} fy-\operatorname {d} ^{2}fy,$

ou bien

$2\alpha \operatorname {d} fy=\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} (x+y)-y\operatorname {d} ^{2}fy.\qquad$(42)

Je fais sur celle-ci les mêmes opérations que sur l’équation (41) ; c’est-à-dire, que je prends la somme des produits respectifs de ses différences successives par $+1,-{\tfrac {1}{2}},+{\tfrac {1}{3}},-\ldots$ ce qui me donne, en réduisant, et ayant toujours égard aux notations (39), (40),