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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$3\alpha \operatorname {d} fy=\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} (x+y)-y\operatorname {d} ^{3}fy.\qquad$(43)

Le procédé détaillé pour passer de l’équation (41) à l’équation (42) sert évidemment de formule pour passer de celle-ci à l’équation (43), puis de cette dernière à une nouvelle, et ainsi de suite ; de sorte que c’est par une induction rigoureuse qu’on obtient la suite indéfinie d’équations

${\begin{aligned}\alpha \quad fy&=\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-y\operatorname {d} fy,\\2\alpha \operatorname {d} \ \ fy&=\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} (x+y)-y\operatorname {d} ^{2}fy,\\3\alpha \operatorname {d} ^{2}fy&=\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} (x+y)-y\operatorname {d} ^{3}fy,\\4\alpha \operatorname {d} ^{3}fy&=\operatorname {d} ^{4}\operatorname {F} (x+y)-y\operatorname {d} ^{4}fy\,;\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

En prenant la somme de leurs produits respectifs par

${\frac {y}{\alpha }},-{\frac {y^{2}}{1.2.\alpha ^{2}}},+{\frac {y^{3}}{1.2.3.\alpha ^{3}}},-{\frac {y^{4}}{1.2.3.4.\alpha ^{4}}},\ldots ,$

il vient, en ayant égard à l’équation primitive (29),

$\operatorname {F} (x+y)=\operatorname {F} x+{\frac {y}{\alpha }}\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)-{\frac {y^{2}}{1.2.\alpha ^{2}}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} (x+y)$

$+{\frac {y^{3}}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} (x+y)-\ldots \,;$

d’où en transposant,

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} (x+y)-{\frac {y}{\alpha }}\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)+{\frac {y^{2}}{1.2.\alpha ^{2}}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} (x+y)$

$-{\frac {y^{3}}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} (x+y)+\ldots \qquad$(44)

Série bien analogue avec la série (32) et qui, comme cette dernière, prend, d’après les mêmes procédés, plusieurs formes différentes, savoir ;

$\operatorname {F} x=\operatorname {F} p+{\frac {(x-p)}{\alpha }}\operatorname {d} \operatorname {F} p+{\frac {(x-p)^{2}}{1.2.\alpha ^{2}}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} p$

$+{\frac {(x-p)^{3}}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} p+\ldots \,;\qquad$(45)

$\operatorname {E^{n}F} x=\operatorname {F} (x+n\alpha )=\operatorname {F} x+{\frac {n}{1}}\operatorname {d} \operatorname {F} x+{\frac {n^{2}}{1.2}}\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} x$

$+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} x+\ldots \,;\qquad$(46)