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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\Delta ^{2}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}f^{2}z.$

On trouverait de même

$\Delta ^{3}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}f^{3}z,\qquad \Delta ^{4}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}f^{4}z,\ldots \,;$

et, par une induction manifeste

$\Delta ^{m}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}f^{m}z\,;$

expression qui, si l’on veut faire usage de la notation proposée (n.^o 2), devient

$\Delta ^{m}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{m}z.$

Or, on a (6)

$\operatorname {F} x_{0}=\varphi ^{0}z=z,\qquad \Delta ^{m}\operatorname {F} x_{0}=\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{m}z\,;$

donc, par la formule (36), on aura

$\varphi ^{x}z=z+{\frac {x}{\alpha }}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)z+{\frac {x(x-\alpha )}{1.2.\alpha ^{2}}}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{2}z$

$+{\frac {x(x-\alpha )(x-2\alpha )}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{3}z+\ldots \qquad$(53)

Actuellement, d’après la définition (39) et la formule (52), on trouve

$\operatorname {d} \operatorname {F} x=\Delta \operatorname {F} x-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} x+\ldots$

$=\varphi ^{x}\left[\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)z-{\tfrac {1}{2}}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{2}z+{\tfrac {1}{3}}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{3}z-\ldots \right]\qquad$(54)

Je désignerai, en général, la fonction polynôme, qui est ici entre parenthèses, par $\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }z\,;$ $\operatorname {L}$ sera ainsi la notation d’une fonction déterminée de $\varphi ^{\alpha }z,$ dont la définition complète sera donnée par l’équation

$\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }z=\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)z-{\tfrac {1}{2}}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{2}z+{\tfrac {1}{3}}\left(\varphi ^{\alpha }-1\right)^{3}z-\ldots \qquad$(55)

La fonction $\operatorname {L}$ s’appellera logarithme et $\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }z$ sera une fonction monôme composée qui s’énoncera : logarithme de $\varphi ^{\alpha }$ de $z.$ Il est clair (n.^o 10) que la fonction $\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }$ est non seulement distributive, mais commutative avec la fonction $\varphi$ et le facteur constant. Il n’en est pas de même de la fonction simple $\operatorname {L} .$

Ainsi, l’équation (54) devient