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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tions partielles, en général, nous exprimons les différentielles partielles par ${\frac {\operatorname {d} }{x}}\zeta ,\ {\frac {\operatorname {d} }{y}}\zeta ,\ldots$

Les définitions des fonctions différentielles totales (3), (4), (39), exprimées d’après la notation proposée (n.^o 2) pour les fonctions polynômes, seront

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {E} ^{n}\zeta =(1+\Delta )^{n}\zeta ,&\qquad \Delta ^{n}\zeta =(\operatorname {E} -1)^{n}\zeta \,;\\\operatorname {d} ^{n}\zeta &=\left(\Delta -{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}-\ldots \right)^{n}\zeta \\&=\left[(\operatorname {E} -1)-{\tfrac {1}{2}}(\operatorname {E} -1)^{2}+\ldots \right]^{n}\zeta \\\end{aligned}}\right\}$ (69)

Elles serviront de formules pour exprimer les fonctions différentielles partielles, en y changeant simplement $\operatorname {E} ,\ \Delta ,\operatorname {d}$ en ${\frac {\operatorname {E} }{x}},\ {\frac {\Delta }{x}},\ {\frac {\operatorname {d} }{x}}$ ou en ${\frac {\operatorname {E} }{y}},\ {\frac {\Delta }{y}},\ {\frac {\operatorname {d} }{y}}$ respectivement.

Ajoutons la formule qui établit la communication entre les fonctions totales et les fonctions partielles : c’est

$\operatorname {F} \zeta ={\frac {\operatorname {E} }{x}}\ {\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta .\qquad$(70)

Elle est évidemment vraie ; car, pour avoir $\varphi (x+\alpha ,y+\beta )=\operatorname {F} \zeta ,$ il suffit de changer d’abord $y$ en $y+\beta ,$ c’est-à-dire, de prendre d’abord ${\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta \,;$ ensuite, dans le résultat, de changer $x$ en $x+\alpha$ c’est-à-dire, de prendre l’état varié ${\frac {\operatorname {E} }{x}},$ selon $x,$ de ${\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta .$

Cela posé, il est facile de voir d’abord que toutes les fonctions différentielles sont distributives. En effet, les états variés $\operatorname {E} ,\ {\frac {\operatorname {E} }{x}},\ {\frac {\operatorname {E} }{y}}$ le sont évidemment, ainsi que les facteurs constans. Or, d’après leurs définitions (69), les différences et différentielles totales ou partielles sont des fonctions polynômes dont les composantes sont des ordres d’états variés et des facteurs constans ; donc, en vertu du théorème (n.^o 6), elles sont elles-mêmes distributives.