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ESSAI SUR LES PRINCIPES

En second lieu, tous les états variés sont commutatifs avec le facteur constant ; il est même très-remarquable que tout état varié est commutatif avec toute fonction d’ordre constant ; c’est-à-dire ; qu’on a

$\operatorname {E} \varphi \zeta =\varphi \operatorname {E} \zeta ,\qquad {\frac {\operatorname {E} }{x}}\varphi \zeta =\varphi {\frac {\operatorname {E} }{x}}\zeta ,\qquad {\frac {\operatorname {E} }{y}}\varphi \zeta =\varphi {\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta .$

Il est fort indifférent, en effet, de changer d’abord $x$ en $x+\alpha ,$ par exemple, dans la fonction $\zeta$ puis de prendre la fonction $\varphi$ ou bien de prendre d’abord la fonction $\varphi$ de $\zeta ,$ pour y changer ensuite $x$ en $x+\alpha .$ Il suit de là que les états variés sont commutatifs, tant entre eux qu’avec toutes les différences et différentielles.

En troisième lieu, les différences et différentielles, étant commutatives avec les états variés, et étant des fonctions polynômes composées d’états variés qui sont commutatifs avec les facteurs constans, seront, en vertu du théorème (n.^o 10), commutatives avec Les facteurs constans.

En quatrième lieu, d’après la définition de la différence partielle ${\frac {\Delta }{x}}\zeta ,$ celle-ci sera commutative avec ${\frac {\Delta }{y}}\zeta ,$ et ${\frac {\operatorname {d} }{y}}\zeta ,$ (n.^o 10), puisque ces dernières sont commutatives avec ${\frac {\operatorname {E} }{x}}\zeta ,$ et les facteurs constans.

En cinquième lieu, d’après la définition de la différentielle partielle ${\frac {\operatorname {d} }{x}}\zeta ,$ celle-ci sera commutative avec ${\frac {\operatorname {d} }{y}}\zeta ,$ (n.^o 10), puisque cette dernière l’est avec les différens ordres de ${\frac {\Delta }{x}}\zeta ,$ et avec les facteurs constans.

De toutes ces observations réunies, il résulte que toutes les fonctions différentielles et leurs différens ordres, positifs ou négatifs, sont des fonctions commutatives, tant entre elles qu’avec les facteurs constans, On pourra y ajouter les fonctions intégrales

$\Sigma ,\ {\frac {\Sigma }{x}},\ {\frac {\Sigma }{y}}\,\ ;\quad \int ,\ {\frac {\int }{x}},\ {\frac {\int }{y}},$