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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$(y-p)^{-m}=A(x-\theta )^{-m}+B(x-\theta )^{-m-1}+\ldots$

$+G(x-\theta )^{-1}+H+K(x-\theta )+L(x-\theta )^{2}\ldots$

$\operatorname {d} (y-p)^{-m}=A'(x-\theta )^{-m-1}+B'(x-\theta )^{-m}+\ldots$

$+G'(x-\theta )^{-2}+0+K'+L'(x-\theta )\ldots$(107)

de cette dernière on conclut que, $m$ étant un nombre entier plus grand que 0, il manque, dans le développement de $\operatorname {d} (y-p)^{-m}$ suivant les puissances ascendantes de $(x-\theta ),$ le terme multiplié par $(x-\theta )^{-1}\,;$ puis ultérieurement que, $n$ étant aussi un nombre plus grand que 0, il manquera, dans le développement de $(x-\theta )^{n+1}.$ $\operatorname {d} (y-p)^{-m},$ le terme multiplié par $(x-\theta )^{n}.$ D’ailleurs, il est évident (107) que, tantque $n$ sera égal à $m$ ou plus grand, ce développement ne renfermera point des puissances négatives de $(x-\theta ).$ Mais, d’après la formule (87), $q$ étant positif, $\operatorname {d} (x-\theta )^{q}$ est nul, quand $n>q\,;$ et $\operatorname {d} ^{n}(x-\theta )^{q}$ est de la forme $R(x-\theta )^{r},\ r$ étant plus grand que zéro, quand $n<q.$ Donc, en prenant la différence $\operatorname {d} ^{n}$ de l’expression $(x-\theta )^{n+1}\operatorname {d} (y-p)^{-m},$ tous les termes où $(x-\theta )$ a un exposant moindre que $n$ seront détruits, tous les autres prendront la forme $R(x-\theta )^{r},$ puisque, le terme en $(x-\theta )^{n}$ manquant, dans tous les autres, l’exposant de $(x-\theta )$ est plus grand que $n\,;$ par conséquent, lorsqu’on fera $x=0,$ on aura toujours

$\operatorname {d} ^{n}\left[(x-\theta )^{n+1}.\operatorname {d} (y-p)^{-m}\right]=0.\qquad$(108)

Il suit, en second lieu, de l’équation (106), que l’expression $(x-\theta )^{n+1}.{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}$ est toujours de la forme

$(x-\theta )^{n+1}.{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}=(x-\theta )^{n}+P(x-\theta )^{n+1}+\ldots \,;$

mais (87) $\operatorname {d} ^{n}(x-\theta )^{n}=1.2.3.\ldots n\,;$ donc, quand on fera $x=\theta ,$ on aura toujours

$d^{n}\left[(x-\theta )^{n+1}.{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}\right]=1.2.3.\ldots n.$

Je fais à présent l’application de ces deux observations importantes à la suite d’équations (104).